什么是抛物线的“通径”?它等于多少?

抛物线通径的定义：

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。

不同标准方程形式下抛物线通径的长度：

对于抛物线$y^{2}=2px(p\gt0)$，其焦点坐标是$(\frac{p}{2},0)$，对称轴为$x$轴。

过焦点$(\frac{p}{2},0)$且垂直于$x$轴的直线方程为$x = \frac{p}{2}$。

将$x=\frac{p}{2}$代入$y^{2}=2px$，可得$y^{2}=2p\times\frac{p}{2}=p^{2}$，则$y=\pm p$。

那么这两个交点坐标分别为$(\frac{p}{2},p)$和$(\frac{p}{2}, - p)$，这两点间的距离就是通径的长度。

根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^{2}+(y_2 - y_1)^{2}}$

​，这里$x_1 = x_2=\frac{p}{2}$，$y_1 = p$，$y_2 = - p$，则通径长度$d=\vert p - (-p)\vert = 2p$。

对于抛物线$y^{2}=-2px(p\gt0)$，焦点坐标是$(-\frac{p}{2},0)$，对称轴为$x$轴。

过焦点$(-\frac{p}{2},0)$且垂直于$x$轴的直线方程为$x = -\frac{p}{2}$。

把$x = -\frac{p}{2}$代入$y^{2}=-2px$，得$y^{2}=-2p\times(-\frac{p}{2}) = p^{2}$，$y=\pm p$。

两交点坐标为$(-\frac{p}{2},p)$和$(-\frac{p}{2}, - p)$，通径长度同样为$\vert p - (-p)\vert = 2p$ 。

对于抛物线$x^{2}=2py(p\gt0)$，焦点坐标是$(0,\frac{p}{2})$，对称轴为$y$轴。

过焦点$(0,\frac{p}{2})$且垂直于$y$轴的直线方程为$y=\frac{p}{2}$。

把$y = \frac{p}{2}$代入$x^{2}=2py$，得$x^{2}=2p\times\frac{p}{2}=p^{2}$，$x=\pm p$。

两交点坐标为$(p,\frac{p}{2})$和$( - p,\frac{p}{2})$，通径长度是$\vert p - (-p)\vert = 2p$。

对于抛物线$x^{2}=-2py(p\gt0)$，焦点坐标是$(0,-\frac{p}{2})$，对称轴为$y$轴。

过焦点$(0,-\frac{p}{2})$且垂直于$y$轴的直线方程为$y = -\frac{p}{2}$。

把$y = -\frac{p}{2}$代入$x^{2}=-2py$，得$x^{2}=-2p\times(-\frac{p}{2}) = p^{2}$，$x=\pm p$。

两交点坐标为$(p,-\frac{p}{2})$和$( - p,-\frac{p}{2})$，通径长度也是$2p$。

综上，抛物线的通径是过焦点且垂直于对称轴的弦，其长度为$2p$（$p$为抛物线标准方程中的参数，$p\gt0$ ）。