等比数列的求和公式是什么

等比数列的求和公式分为两种情况：

1. 当公比$q = 1$时

等比数列$\{ a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，其前$n$项和$S_{n}=na_{1}$。这是因为公比$q = 1$时，等比数列的每一项都相等，都等于首项$a_{1}$，那么前$n$项的和就是$n$个$a_{1}$相加，即$na_{1}$ 。

2. 当公比$q\neq1$时

等比数列$\{ a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，公比为$q$，其前$n$项和$S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$，也可以写成$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}$（其中$a_{n}$为该等比数列的第$n$项，$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}$ ）。推导过程如下：
设等比数列$\{ a_{n}\}$的首项是$a_{1}$，公比是$q$，前$n$项和为$S_{n}$，则$S_{n}=a_{1}+a_{1}q + a_{1}q^{2}+\cdots + a_{1}q^{n - 1}$ ①；
等式两边同乘以$q$可得：$qS_{n}=a_{1}q + a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+\cdots + a_{1}q^{n}$ ②；
由① - ②得：

$$\begin{align*} S_{n}-qS_{n}&=a_{1}+(a_{1}q - a_{1}q)+(a_{1}q^{2}-a_{1}q^{2})+\cdots+(a_{1}q^{n - 1}-a_{1}q^{n - 1}) - a_{1}q^{n}\\ (1 - q)S_{n}&=a_{1}-a_{1}q^{n}\\ S_{n}&=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q} \end{align*}$$

又因为$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}$，即$a_{1}q^{n}=a_{n}q$，所以$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}$ 。