2^x的导数
根据求导公式和指数函数的性质，( a x ) ′ = a x ln a (a^x)^\prime = a^x \ln a(ax)′=axlna（a > 0 a > 0a>0且a ≠ 1 a \neq 1a=1），对于函数 y = 2 x y = 2^xy=2x，这里a = 2 a = 2a=2 。
所以y ′ = ( 2 x ) ′ = 2 x ln 2 y^\prime=(2^x)^\prime = 2^x \ln 2y′=(2x)′=2xln2。
下面我们用导数的定义来推导一下2 x 2^x2x的导数： 导数的定义为函数f ( x ) f(x)f(x)在点x 0 x_0x0处的导数f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}f′(x0)=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)。
对于函数y = f ( x ) = 2 x y = f(x)=2^xy=f(x)=2x，它在x xx处的导数为： f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 2 x + Δ x − 2 x Δ x = lim Δ x → 0 2 x ⋅ 2 Δ x − 2 x Δ x = lim Δ x → 0 2 x ( 2 Δ x − 1 ) Δ x = 2 x lim Δ x → 0 2 Δ x − 1 Δ x \begin{align*} f^\prime(x)&=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2^{x + \Delta x} - 2^x}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2^x \cdot 2^{\Delta x} - 2^x}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2^x(2^{\Delta x} - 1)}{\Delta x}\\ &=2^x \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \end{align*} f′(x)=Δx→0limΔx2x+Δx−2x=Δx→0limΔx2x⋅2Δx−2x=Δx→0limΔx2x(2Δx−1)=2xΔx→0limΔx2Δx−1 令t = 2 Δ x − 1 t = 2^{\Delta x} - 1t=2Δx−1，则Δ x = log 2 ( t + 1 ) \Delta x = \log_2 (t + 1)Δx=log2(t+1)。
当Δ x → 0 \Delta x \to 0Δx→0时，t → 0 t \to 0t→0。
那么lim Δ x → 0 2 Δ x − 1 Δ x = lim t → 0 t log 2 ( t + 1 ) \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2^{\Delta x} - 1}{\Delta x} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{t}{\log_2 (t + 1)}Δx→0limΔx2Δx−1=t→0limlog2(t+1)t 根据对数函数换底公式log a b = ln b ln a \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}logab=lnalnb，可得log 2 ( t + 1 ) = ln ( t + 1 ) ln 2 \log_2 (t + 1) = \frac{\ln (t + 1)}{\ln 2}log2(t+1)=ln2ln(t+1)。
则lim t → 0 t log 2 ( t + 1 ) = lim t → 0 t ln 2 ln ( t + 1 ) \lim\limits_{t \to 0} \frac{t}{\log_2 (t + 1)} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{t \ln 2}{\ln (t + 1)}t→0limlog2(t+1)t=t→0limln(t+1)tln2 再根据等价无穷小lim u → 0 ln ( 1 + u ) u = 1 \lim\limits_{u \to 0} \frac{\ln(1 + u)}{u} = 1u→0limuln(1+u)=1，这里u = t u = tu=t。
所以lim t → 0 t ln 2 ln ( t + 1 ) = ln 2 \lim\limits_{t \to 0} \frac{t \ln 2}{\ln (t + 1)} = \ln 2t→0limln(t+1)tln2=ln2。
即f ′ ( x ) = 2 x ln 2 f^\prime(x)=2^x \ln 2f′(x)=2xln2。
综上，2 x 2^x2x的导数是2 x ln 2 2^x \ln 22xln2。
