对数的定义 如果a x = N a^x = Nax=N（a > 0 a > 0a>0，且a ≠ 1 a \neq 1a=1），那么数x xx叫做以a aa为底N NN的对数，记作x = log ⁡ a N x = \log_a Nx=loga​N，其中a aa叫做对数的底数，N NN叫做真数。

对数的运算法则 加法法则：log ⁡ a M + log ⁡ a N = log ⁡ a ( M N ) \log_a M + \log_a N = \log_a(MN)loga​M+loga​N=loga​(MN)（a > 0 a > 0a>0，a ≠ 1 a \neq 1a=1，M > 0 M > 0M>0，N > 0 N > 0N>0） 推导过程：设log ⁡ a M = p \log_a M = ploga​M=p，log ⁡ a N = q \log_a N = qloga​N=q，根据对数的定义可得a p = M a^p = Map=M，a q = N a^q = Naq=N。

那么M N = a p × a q = a p + q MN = a^p \times a^q = a^{p + q}MN=ap×aq=ap+q。

再根据对数定义，log ⁡ a ( M N ) = p + q = log ⁡ a M + log ⁡ a N \log_a(MN) = p + q = \log_a M + \log_a Nloga​(MN)=p+q=loga​M+loga​N。

示例：计算log ⁡ 2 4 + log ⁡ 2 8 \log_2 4 + \log_2 8log2​4+log2​8，因为log ⁡ 2 4 = log ⁡ 2 2 2 = 2 \log_2 4 = \log_2 2^2 = 2log2​4=log2​22=2，log ⁡ 2 8 = log ⁡ 2 2 3 = 3 \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3log2​8=log2​23=3，根据加法法则log ⁡ 2 4 + log ⁡ 2 8 = log ⁡ 2 ( 4 × 8 ) = log ⁡ 2 32 = log ⁡ 2 2 5 = 5 \log_2 4 + \log_2 8 = \log_2(4×8) = \log_2 32 = \log_2 2^5 = 5log2​4+log2​8=log2​(4×8)=log2​32=log2​25=5。

减法法则：log ⁡ a M − log ⁡ a N = log ⁡ a M N \log_a M - \log_a N = \log_a\frac{M}{N}loga​M−loga​N=loga​NM​（a > 0 a > 0a>0，a ≠ 1 a \neq 1a=1，M > 0 M > 0M>0，N > 0 N > 0N>0） 推导过程：设log ⁡ a M = p \log_a M = ploga​M=p，log ⁡ a N = q \log_a N = qloga​N=q，即a p = M a^p = Map=M，a q = N a^q = Naq=N。

则M N = a p a q = a p − q \frac{M}{N} = \frac{a^p}{a^q} = a^{p - q}NM​=aqap​=ap−q。

由对数定义可知log ⁡ a M N = p − q = log ⁡ a M − log ⁡ a N \log_a\frac{M}{N} = p - q = \log_a M - \log_a Nloga​NM​=p−q=loga​M−loga​N。

示例：计算log ⁡ 3 27 − log ⁡ 3 9 \log_3 27 - \log_3 9log3​27−log3​9，由于log ⁡ 3 27 = log ⁡ 3 3 3 = 3 \log_3 27 = \log_3 3^3 = 3log3​27=log3​33=3，log ⁡ 3 9 = log ⁡ 3 3 2 = 2 \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2log3​9=log3​32=2，按照减法法则log ⁡ 3 27 − log ⁡ 3 9 = log ⁡ 3 27 9 = log ⁡ 3 3 = 1 \log_3 27 - \log_3 9 = \log_3\frac{27}{9} = \log_3 3 = 1log3​27−log3​9=log3​927​=log3​3=1。

幂运算法则：n log ⁡ a M = log ⁡ a M n n\log_a M = \log_a M^nnloga​M=loga​Mn（a > 0 a > 0a>0，a ≠ 1 a \neq 1a=1，M > 0 M > 0M>0，n ∈ R n \in Rn∈R） 推导过程：设log ⁡ a M = p \log_a M = ploga​M=p，则a p = M a^p = Map=M。

那么M n = ( a p ) n = a p n M^n = (a^p)^n = a^{pn}Mn=(ap)n=apn。

根据对数定义，log ⁡ a M n = p n = n log ⁡ a M \log_a M^n = pn = n\log_a Mloga​Mn=pn=nloga​M。

示例：计算2 log ⁡ 5 3 2\log_5 32log5​3，可转化为log ⁡ 5 3 2 = log ⁡ 5 9 \log_5 3^2 = \log_5 9log5​32=log5​9 。

对数的重要公式 换底公式：log ⁡ a b = log ⁡ c b log ⁡ c a \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}loga​b=logc​alogc​b​（a > 0 a > 0a>0，a ≠ 1 a \neq 1a=1，b > 0 b > 0b>0，c > 0 c > 0c>0，c ≠ 1 c \neq 1c=1） 推导过程：设log ⁡ a b = x \log_a b = xloga​b=x，根据对数定义有a x = b a^x = bax=b。

两边同时取以c cc为底的对数，得到log ⁡ c a x = log ⁡ c b \log_c a^x = \log_c blogc​ax=logc​b。

由幂运算法则x log ⁡ c a = log ⁡ c b x\log_c a = \log_c bxlogc​a=logc​b，所以x = log ⁡ c b log ⁡ c a x = \frac{\log_c b}{\log_c a}x=logc​alogc​b​，即log ⁡ a b = log ⁡ c b log ⁡ c a \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}loga​b=logc​alogc​b​。

示例：计算log ⁡ 2 5 \log_2 5log2​5，利用换底公式换成以10 1010为底（常用对数），则log ⁡ 2 5 = log ⁡ 10 5 log ⁡ 10 2 ≈ 0.6990 0.3010 ≈ 2.322 \log_2 5 = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2} \approx \frac{0.6990}{0.3010} \approx 2.322log2​5=log10​2log10​5​≈0.30100.6990​≈2.322 。

对数恒等式：a log ⁡ a N = N a^{\log_a N} = Naloga​N=N（a > 0 a > 0a>0，a ≠ 1 a \neq 1a=1，N > 0 N > 0N>0） 推导过程：设log ⁡ a N = x \log_a N = xloga​N=x，根据对数定义，a x = N a^x = Nax=N，把x = log ⁡ a N x = \log_a Nx=loga​N代入a x = N a^x = Nax=N，就得到a log ⁡ a N = N a^{\log_a N} = Naloga​N=N。

示例：2 log ⁡ 2 10 = 10 2^{\log_2 10} = 102log2​10=10 。

特殊对数 常用对数：以10 1010为底的对数叫做常用对数，记作log ⁡ 10 N \log_{10} Nlog10​N，简记为lg ⁡ N \lg NlgN。

例如log ⁡ 10 100 = lg ⁡ 100 = 2 \log_{10} 100 = \lg 100 = 2log10​100=lg100=2。

自然对数：以无理数e ≈ 2.71828 e\approx2.71828e≈2.71828为底的对数叫做自然对数，记作log ⁡ e N \log_e Nloge​N，简记为ln ⁡ N \ln NlnN。

例如log ⁡ e e = ln ⁡ e = 1 \log_e e = \ln e = 1loge​e=lne=1 。