二重积分在物理学中有多种重要意义，主要体现在质量、质心、转动惯量等方面： 计算平面薄片的质量 若有一平面薄片，在 x O y xOyxOy 平面上占据区域 D DD，其面密度函数为 ρ ( x , y ) \rho(x,y)ρ(x,y)（单位面积的质量，且 ρ ( x , y ) \rho(x,y)ρ(x,y) 在 D DD 上连续）。

将区域 D DD 分割成许多微小的子区域，每个子区域的面积记为 Δ σ i \Delta\sigma_{i}Δσi​，在每个子区域内任取一点 ( ξ i , η i ) (\xi_{i},\eta_{i})(ξi​,ηi​)，由于子区域很小，可近似认为该子区域上的面密度不变，都为 ρ ( ξ i , η i ) \rho(\xi_{i},\eta_{i})ρ(ξi​,ηi​)，那么这个子区域的质量近似为 ρ ( ξ i , η i ) Δ σ i \rho(\xi_{i},\eta_{i})\Delta\sigma_{i}ρ(ξi​,ηi​)Δσi​。

整个平面薄片的质量 M MM 就是所有这些微小区域质量之和的极限。

根据二重积分的定义，平面薄片的质量 M MM 可以表示为： M = ∬ D ρ ( x , y ) d σ M = \iint_{D} \rho(x,y) d\sigmaM=∬D​ρ(x,y)dσ 这里 d σ d\sigmadσ 是面积元素，在直角坐标系下 d σ = d x d y d\sigma = dxdydσ=dxdy。

求平面薄片的质心坐标 质心（重心）是物体质量分布的中心位置。

对于上述平面薄片，设其质心坐标为 ( x ‾ , y ‾ ) (\overline{x}, \overline{y})(x,y​)，计算公式如下： x ‾ = 1 M ∬ D x ρ ( x , y ) d σ \overline{x} = \frac{1}{M}\iint_{D} x\rho(x,y)d\sigmax=M1​∬D​xρ(x,y)dσ y ‾ = 1 M ∬ D y ρ ( x , y ) d σ \overline{y} = \frac{1}{M}\iint_{D} y\rho(x,y)d\sigmay​=M1​∬D​yρ(x,y)dσ 其中 M = ∬ D ρ ( x , y ) d σ M = \iint_{D} \rho(x,y)d\sigmaM=∬D​ρ(x,y)dσ 是平面薄片的质量。

分子部分 ∬ D x ρ ( x , y ) d σ \iint_{D} x\rho(x,y)d\sigma∬D​xρ(x,y)dσ 和 ∬ D y ρ ( x , y ) d σ \iint_{D} y\rho(x,y)d\sigma∬D​yρ(x,y)dσ 分别反映了质量关于 y yy 轴和 x xx 轴的“矩” 。

计算平面薄片的转动惯量 转动惯量是衡量刚体绕轴转动时惯性大小的物理量。

对于平面薄片，绕 x xx 轴、y yy 轴以及原点 O OO 的转动惯量 I x I_{x}Ix​、I y I_{y}Iy​ 和 I O I_{O}IO​ 分别为： 绕 x xx 轴的转动惯量：I x = ∬ D y 2 ρ ( x , y ) d σ I_{x} = \iint_{D} y^{2}\rho(x,y)d\sigmaIx​=∬D​y2ρ(x,y)dσ 绕 y yy 轴的转动惯量：I y = ∬ D x 2 ρ ( x , y ) d σ I_{y} = \iint_{D} x^{2}\rho(x,y)d\sigmaIy​=∬D​x2ρ(x,y)dσ 绕原点 O OO 的转动惯量：I O = ∬ D ( x 2 + y 2 ) ρ ( x , y ) d σ I_{O} = \iint_{D} (x^{2} + y^{2})\rho(x,y)d\sigmaIO​=∬D​(x2+y2)ρ(x,y)dσ 这些转动惯量的公式基于将平面薄片分割成微小部分，每个微小部分到轴或原点的距离平方乘以该部分的质量，然后通过二重积分对整个区域求和得到。