数学期望是随机变量的重要数字特征之一，不同类型的随机变量求数学期望的方法有所不同： 离散型随机变量的数学期望 若离散型随机变量 X X X 的概率分布为 P ( X = x i ) = p i P(X = x_{i}) = p_{i} P(X=xi​)=pi​，i = 1 , 2 , ⋯   , n i = 1, 2, \cdots, ni=1,2,⋯,n ，那么它的数学期望 E ( X ) E(X) E(X) 定义为： E ( X ) = ∑ i = 1 n x i p i E(X)=\sum_{i = 1}^{n}x_{i}p_{i}E(X)=∑i=1n​xi​pi​ 也就是说，离散型随机变量的数学期望是其各个取值与其对应概率乘积的总和。

例如，投掷一枚均匀的骰子，设随机变量 X X X 表示骰子朝上的点数。

X X X 的取值为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 1, 2, 3, 4, 5, 61,2,3,4,5,6，且每个取值的概率 p i = 1 6 p_{i}=\frac{1}{6}pi​=61​ ，则 E ( X ) = 1 × 1 6 + 2 × 1 6 + 3 × 1 6 + 4 × 1 6 + 5 × 1 6 + 6 × 1 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 6 = 21 6 = 3.5 E(X)=1\times\frac{1}{6}+2\times\frac{1}{6}+3\times\frac{1}{6}+4\times\frac{1}{6}+5\times\frac{1}{6}+6\times\frac{1}{6}=\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6}=\frac{21}{6} = 3.5E(X)=1×61​+2×61​+3×61​+4×61​+5×61​+6×61​=61+2+3+4+5+6​=621​=3.5 连续型随机变量的数学期望 对于连续型随机变量 X X X，若其概率密度函数为 f ( x ) f(x)f(x)，则 X X X 的数学期望 E ( X ) E(X) E(X) 为： E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dxE(X)=∫−∞∞​xf(x)dx 这是通过积分运算来计算连续型随机变量的数学期望。

例如，已知某连续型随机变量 X XX 的概率密度函数 f ( x ) = { 2 x , 0 ≤ x ≤ 1 0 , 其他 f(x)=\begin{cases}2x, & 0\leq x\leq1 \\ 0, & 其他\end{cases}f(x)={2x,0,​0≤x≤1其他​，则 E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x = ∫ 0 1 x ⋅ 2 x d x = 2 ∫ 0 1 x 2 d x = 2 × [ 1 3 x 3 ] 0 1 = 2 3 E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x\cdot 2xdx = 2\int_{0}^{1}x^{2}dx = 2\times[\frac{1}{3}x^{3}]_{0}^{1}=\frac{2}{3}E(X)=∫−∞∞​xf(x)dx=∫01​x⋅2xdx=2∫01​x2dx=2×[31​x3]01​=32​ 二维随机变量函数的数学期望 离散型：设二维离散型随机变量 ( X , Y ) (X, Y)(X,Y) 的联合概率分布为 P ( X = x i , Y = y j ) = p i j P(X = x_{i}, Y = y_{j}) = p_{ij}P(X=xi​,Y=yj​)=pij​，i , j = 1 , 2 , ⋯ i, j = 1, 2, \cdotsi,j=1,2,⋯， Z = g ( X , Y ) Z = g(X, Y)Z=g(X,Y) 是 ( X , Y ) (X, Y)(X,Y) 的函数，则 Z ZZ 的数学期望为 E ( Z ) = E [ g ( X , Y ) ] = ∑ i ∑ j g ( x i , y j ) p i j E(Z)=E[g(X,Y)]=\sum_{i}\sum_{j}g(x_{i},y_{j})p_{ij}E(Z)=E[g(X,Y)]=∑i​∑j​g(xi​,yj​)pij​ 连续型：设二维连续型随机变量 ( X , Y ) (X, Y)(X,Y) 的联合概率密度函数为 f ( x , y ) f(x, y)f(x,y)， Z = g ( X , Y ) Z = g(X, Y)Z=g(X,Y) 是 ( X , Y ) (X, Y)(X,Y) 的函数，则 Z ZZ 的数学期望为 E ( Z ) = E [ g ( X , Y ) ] = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ g ( x , y ) f ( x , y ) d x d y E(Z)=E[g(X,Y)]=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)f(x,y)dxdyE(Z)=E[g(X,Y)]=∫−∞∞​∫−∞∞​g(x,y)f(x,y)dxdy 利用期望性质求数学期望 数学期望具有一些性质，利用这些性质可以更简便地计算复杂随机变量的期望： 常数的期望：若 C CC 是常数，则 E ( C ) = C E(C) = CE(C)=C 线性性质：对于任意常数 a aa 和 b bb，以及随机变量 X XX 和 Y YY，有 E ( a X + b Y ) = a E ( X ) + b E ( Y ) E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) 独立性性质：若随机变量 X XX 和 Y YY 相互独立，则 E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y) 例如，已知 X XX 和 Y YY 是两个随机变量， E ( X ) = 2 E(X)=2E(X)=2， E ( Y ) = 3 E(Y)=3E(Y)=3， 则 E ( 2 X + 3 Y ) = 2 E ( X ) + 3 E ( Y ) = 2 × 2 + 3 × 3 = 4 + 9 = 13 E(2X + 3Y)=2E(X)+3E(Y)=2\times2 + 3\times3 = 4 + 9 = 13E(2X+3Y)=2E(X)+3E(Y)=2×2+3×3=4+9=13