若正方体的棱长为a aa，那么正方体的体对角线公式为：体对角线长度 l = 3 a l = \sqrt{3}al=3​a。

推导过程如下： 首先看正方体一个面的对角线长度。

在正方体的一个面上，根据勾股定理，面对角线长度d dd与棱长a aa的关系为：d 2 = a 2 + a 2 = 2 a 2 d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2d2=a2+a2=2a2，所以d = 2 a d=\sqrt{2}ad=2​a。

然后求正方体的体对角线长度。

正方体的体对角线、面对角线与一条棱构成一个直角三角形，其中体对角线是斜边。

设体对角线长度为l ll，已知面对角线d = 2 a d = \sqrt{2}ad=2​a ，棱长为a aa。

根据勾股定理可得：l 2 = d 2 + a 2 l^2 = d^2 + a^2l2=d2+a2。

把d 2 = 2 a 2 d^2 = 2a^2d2=2a2代入上式，得到l 2 = 2 a 2 + a 2 = 3 a 2 l^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2l2=2a2+a2=3a2。

所以l = 3 a l=\sqrt{3}al=3​a 。