复合函数单调性判断复合函数的单调的方法

判断复合函数单调性可以使用“同增异减”原则，下面为你详细介绍：

定义

复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。比如 $y = f(g(x))$，它是由外层函数 $y = f(u)$ 和内层函数 $u = g(x)$ 复合而成。

“同增异减”原则

含义：“同增异减”指的是当内层函数 $u = g(x)$ 和外层函数 $y = f(u)$ 的单调性相同时，复合函数 $y = f(g(x))$ 为增函数；当内层函数 $u = g(x)$ 和外层函数 $y = f(u)$ 的单调性不同时，复合函数 $y = f(g(x))$ 为减函数。

示例：以复合函数 $y = \log_{2}(x^{2}- 2x - 3)$为例。

步骤一：确定定义域
要使对数函数有意义，则真数必须大于$0$，即$x^{2}-2x - 3>0$，解不等式$(x - 3)(x + 1)>0$，得到$x>3$或$x<-1$，所以函数的定义域为$(-\infty, - 1)\cup(3,+\infty)$。

步骤二：分解复合函数
令$u = x^{2}-2x - 3$，则原复合函数$y = \log_{2}(x^{2}-2x - 3)$由外层函数$y=\log_{2}u$和内层函数$u = x^{2}-2x - 3$组成。

步骤三：分析内外层函数单调性

外层函数：对于函数$y=\log_{2}u$，因为底数$2>1$，所以$y=\log_{2}u$在其定义域$(0,+\infty)$上是增函数。

内层函数：对于二次函数$u = x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4$，其对称轴为$x = 1$。当$x\in(-\infty, - 1)$时，$u = x^{2}-2x - 3$随$x$的增大而减小；当$x\in(3,+\infty)$时，$u = x^{2}-2x - 3$随$x$的增大而增大 。

步骤四：根据“同增异减”判断复合函数单调性

当$x\in(-\infty, - 1)$时，内层函数$u = x^{2}-2x - 3$单调递减，外层函数$y=\log_{2}u$单调递增，内外层函数单调性不同，所以复合函数$y = \log_{2}(x^{2}-2x - 3)$在$(-\infty, - 1)$上单调递减。

当$x\in(3,+\infty)$时，内层函数$u = x^{2}-2x - 3$单调递增，外层函数$y=\log_{2}u$单调递增，内外层函数单调性相同，所以复合函数$y = \log_{2}(x^{2}-2x - 3)$在$(3,+\infty)$上单调递增。

判断复合函数单调性的一般步骤总结

求复合函数的定义域：确保函数有意义，这是后续分析的基础。

分解复合函数：将复合函数分解为内层函数和外层函数。

分别确定内外层函数的单调性：利用已知函数的单调性规律（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等的单调性）来判断。

根据“同增异减”原则确定复合函数的单调性：结合内外层函数在相应区间上的单调性，判断复合函数在定义域内各个区间上的单调性。