等差数列的前N项和公式和通项公式是什么..

等差数列的通项公式

设等差数列$\{ a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，公差为$d$，其通项公式为$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d$。

这个公式的推导思路是：根据等差数列的定义，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数$d$。那么$a_{2}=a_{1}+d$，$a_{3}=a_{2}+d=(a_{1}+d)+d=a_{1}+2d$，$a_{4}=a_{3}+d=(a_{1}+2d)+d=a_{1}+3d$，以此类推，第$n$项$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d$ 。

等差数列的前$n$项和公式

公式一：$S_{n}=\frac{n(a_{1} + a_{n})}{2}$

推导过程：$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots + a_{n}$，将其倒序写为$S_{n}=a_{n}+a_{n - 1}+a_{n - 2}+\cdots + a_{1}$。两式相加得$2S_{n}=(a_{1} + a_{n})+(a_{2} + a_{n - 1})+(a_{3} + a_{n - 2})+\cdots + (a_{n} + a_{1})$ 。因为在等差数列中$a_{1} + a_{n}=a_{2} + a_{n - 1}=a_{3} + a_{n - 2}=\cdots$，一共有$n$组这样的和，所以$2S_{n}=n(a_{1} + a_{n})$，进而得到$S_{n}=\frac{n(a_{1} + a_{n})}{2}$。

公式二：$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d$

推导：把通项公式$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d$代入$S_{n}=\frac{n(a_{1} + a_{n})}{2}$中，可得$S_{n}=\frac{n\left[a_{1}+a_{1}+(n - 1)d\right]}{2}$，化简后就得到$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d$ 。

这两个前$n$项和公式各有特点，在实际应用中，可根据已知条件灵活选用。如果已知首项$a_{1}$、末项$a_{n}$和项数$n$，用$S_{n}=\frac{n(a_{1} + a_{n})}{2}$较为方便；如果已知首项$a_{1}$、公差$d$和项数$n$ ，则$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d$更合适。