圆球体的体积公式是怎样的?一定要正确的啊!

圆球体的体积公式为$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$，其中$V$表示球体的体积，$\pi$是圆周率（通常取$3.14$ ），$r$是球体的半径。

这个公式的推导涉及到高等数学中的积分知识，以下为你简单介绍推导思路（基于定积分方法）：

将球体进行切片处理

把半径为$r$的球体放在直角坐标系中，球心位于原点$(0,0,0)$。考虑球体在$x$轴方向上的情况，对于球体上任意位置$x$处（$-r\leqslant x\leqslant r$ ），垂直于$x$轴的截面是一个圆。

根据勾股定理，该截面圆的半径$y$满足$y = \sqrt{r^{2}-x^{2}}$

​（因为球体方程为$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$，这里只考虑二维截面，$z = 0$ ），那么该截面圆的面积$A(x)=\pi y^{2}=\pi(r^{2}-x^{2})$。

利用定积分求体积

球体可以看作是由无数个这样垂直于$x$轴的薄片叠加而成。根据定积分的几何意义，体积$V$就等于这些薄片面积在$x$从$-r$到$r$上的积分。

即$V=\int_{ - r}^{r}A(x)dx=\int_{ - r}^{r}\pi(r^{2}-x^{2})dx$。

由于被积函数$\pi(r^{2}-x^{2})$是偶函数，所以$V = 2\int_{0}^{r}\pi(r^{2}-x^{2})dx$。

对$\pi(r^{2}-x^{2})$进行积分：$\int\pi(r^{2}-x^{2})dx=\pi r^{2}x-\frac{1}{3}\pi x^{3}+C$（$C$为常数）。

再代入积分上下限计算：

$$\begin{align*} V&=2\left[\pi r^{2}x-\frac{1}{3}\pi x^{3}\right]_{0}^{r}\\ &=2\left(\pi r^{2}\times r-\frac{1}{3}\pi r^{3}-0\right)\\ &=2\left(\pi r^{3}-\frac{1}{3}\pi r^{3}\right)\\ &=\frac{4}{3}\pi r^{3} \end{align*}$$

所以最终得出圆球体的体积公式为$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$ 。