什么叫根的判别式?

根的判别式是用于判断一元二次方程根的情况的一个重要工具。以下为你详细介绍：

定义

对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），其根的判别式用符号“$\Delta$”表示，$\Delta = b^2 - 4ac$。其中 $a$ 是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$ 是常数项。

作用及与根的关系

当$\Delta\gt0$时：一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$）有两个不相等的实数根。例如方程 $x^2 - 3x + 2 = 0$，这里 $a = 1$，$b = -3$，$c = 2$，则 $\Delta = (-3)^2 - 4×1×2 = 9 - 8 = 1\gt0$，该方程的解为 $x_1 = 1$，$x_2 = 2$，有两个不同的实数根。

当$\Delta = 0$时：一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$）有两个相等的实数根。比如方程 $x^2 - 2x + 1 = 0$，其中 $a = 1$，$b = -2$，$c = 1$，此时 $\Delta = (-2)^2 - 4×1×1 = 4 - 4 = 0$，方程的解为 $x_1 = x_2 = 1$，即有两个相等的实数根。

当$\Delta\lt0$时：一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$）没有实数根。例如方程 $x^2 + x + 2 = 0$，$a = 1$，$b = 1$，$c = 2$，$\Delta = 1^2 - 4×1×2 = 1 - 8 = -7\lt0$，该方程在实数范围内无解。

推导过程

一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），通过配方法可将其变形为：

$$\begin{align*} ax^2 + bx + c &= 0\\ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= 0\\ x^2 + \frac{b}{a}x &= -\frac{c}{a}\\ x^2 + 2\times\frac{b}{2a}x + (\frac{b}{2a})^2&= (\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a}\\ (x + \frac{b}{2a})^2&= \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}\\ (x + \frac{b}{2a})^2&= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \end{align*}$$

在实数范围内，等式右边 $\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ 的正负性决定了方程是否有实数根以及实数根的个数。由于 $4a^2\gt0$（$a\neq0$），所以 $b^2 - 4ac$ 的正负性起到关键作用，因此把 $b^2 - 4ac$ 定义为根的判别式 $\Delta$ 。