正弦余弦的半角公式

正弦半角公式

$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$

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公式推导：由二倍角公式$\cos2\beta = 1 - 2\sin^{2}\beta$，令$\beta=\frac{\alpha}{2}$，则$\cos\alpha = 1 - 2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}$，移项可得$2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=1 - \cos\alpha$，即$\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1 - \cos\alpha}{2}$，两边开方就得到$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$

​。这里正负号的选取取决于$\frac{\alpha}{2}$所在的象限。

余弦半角公式

$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$

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公式推导：同样根据二倍角公式$\cos2\beta = 2\cos^{2}\beta - 1$ ，令$\beta = \frac{\alpha}{2}$，则$\cos\alpha = 2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1$，移项可得$2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=1 + \cos\alpha$，即$\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1 + \cos\alpha}{2}$，两边开方得到$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$

​。正负号同样由$\frac{\alpha}{2}$所在的象限来确定 。