正四面体的高怎么计算

设正四面体的棱长为$a$，可以通过以下步骤求出它的高：

求底面三角形的高及中心到底面顶点的距离：

正四面体底面是正三角形，根据勾股定理可得底面正三角形的高$h_{底}=\sqrt{a^{2}-(\frac{a}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

​=23

​​a。

正三角形的中心（重心、内心、外心、垂心四心合一）把高分为$2:1$的两段，所以底面中心到底面顶点的距离$r = \frac{2}{3}h_{底}=\frac{2}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a$

​​a=33

​​a。

求正四面体的高：

正四面体的高、侧棱以及底面中心到底面顶点的连线构成直角三角形，其中侧棱为斜边。

设正四面体的高为$H$，根据勾股定理$H = \sqrt{a^{2}-r^{2}}$

​，将$r = \frac{\sqrt{3}}{3}a$

​​a代入可得：

$$\begin{align*} H&=\sqrt{a^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^{2}}\\ &=\sqrt{a^{2}-\frac{1}{3}a^{2}}\\ &=\sqrt{\frac{2}{3}a^{2}}\\ &=\frac{\sqrt{6}}{3}a \end{align*}$$

​​a)2

​=a2−31​a2

​=32​a2

​=36

​​a​

综上，棱长为$a$的正四面体的高为$\frac{\sqrt{6}}{3}a$

​​a 。