函数的对称性性质.

函数的对称性是函数的一个重要性质，主要包括轴对称和中心对称，以下为你详细介绍：

轴对称

定义：如果函数$y = f(x)$满足$f(a + x)=f(b - x)$，则函数$y = f(x)$的图象关于直线$x = \frac{a + b}{2}$对称。

理解：对于函数图象上任意一点$(a + x,f(a + x))$，都存在另一点$(b - x,f(b - x))$与之关于直线$x = \frac{a + b}{2}$对称，因为这两点的横坐标到直线$x = \frac{a + b}{2}$的距离相等，且纵坐标相等。

特殊情况

若$f(a + x)=f(a - x)$，则函数$y = f(x)$的图象关于直线$x = a$对称。此时，在函数图象上取两点$(a + x,f(a + x))$与$(a - x,f(a - x))$，这两点的纵坐标相同，横坐标关于直线$x = a$对称。例如二次函数$y=(x - 2)^2$，满足$f(2 + x)=f(2 - x)$，其图象关于直线$x = 2$对称。

若函数$y = f(x)$满足$f(x)=f( - x)$，则函数$y = f(x)$是偶函数，其图象关于$y$轴（即直线$x = 0$）对称。这是因为对于定义域内任意$x$，$f(x)$与$f( - x)$相等，意味着函数图象上关于$y$轴对称的点的函数值相等。

中心对称

定义：如果函数$y = f(x)$满足$f(a + x)+f(b - x)=2c$，则函数$y = f(x)$的图象关于点$(\frac{a + b}{2},c)$对称。

理解：对于函数图象上的点$(a + x,f(a + x))$和$(b - x,f(b - x))$ ，这两点的中点坐标为$(\frac{(a + x)+(b - x)}{2},\frac{f(a + x)+f(b - x)}{2})$，即$(\frac{a + b}{2},c)$，说明函数图象关于点$(\frac{a + b}{2},c)$中心对称。

特殊情况

若$f(a + x)+f(a - x)=2c$，则函数$y = f(x)$的图象关于点$(a,c)$对称。例如函数$y = \frac{1}{x - 1}+1$，满足$f(1 + x)+f(1 - x)=\frac{1}{(1 + x)-1}+1+\frac{1}{(1 - x)-1}+1 = 2$，其图象关于点$(1,1)$对称。

若函数$y = f(x)$满足$f(x)+f( - x)=0$，则函数$y = f(x)$是奇函数，其图象关于原点$(0,0)$对称。这表明对于定义域内任意$x$，$f(x)$与$f( - x)$互为相反数，函数图象上关于原点对称的点的函数值也互为相反数。

函数对称性之间的联系

多次轴对称与中心对称的关系

若函数$y = f(x)$有两条对称轴$x = a$和$x = b$（$a\neq b$），那么函数$y = f(x)$是周期函数，周期$T = 2|a - b|$。

若函数$y = f(x)$有一个对称中心$(a,0)$和一条对称轴$x = b$（$a\neq b$），那么函数$y = f(x)$是周期函数，周期$T = 4|a - b|$。

多个对称中心的关系

若函数$y = f(x)$有两个对称中心$(a,0)$和$(b,0)$（$a\neq b$）， 那么函数$y = f(x)$是周期函数，周期$T = 2|a - b|$。