三角恒等变换所有公式.

三角恒等变换公式是三角函数中用于化简、求值和证明的重要工具，主要包括以下几类：

两角和与差的三角函数公式

两角和与差的正弦公式

$\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

 

两角和与差的余弦公式

$\cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

 

两角和与差的正切公式

$\tan(\alpha + \beta)=\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$

$\tan(\alpha - \beta)=\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$

 

二倍角公式

二倍角的正弦公式

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

 

二倍角的余弦公式

$\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1 = 1 - 2\sin^{2}\alpha$

 

二倍角的正切公式

$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}$

 

降幂公式

由二倍角的余弦公式变形可得：

$\sin^{2}\alpha=\frac{1 - \cos2\alpha}{2}$

$\cos^{2}\alpha=\frac{1 + \cos2\alpha}{2}$

半角公式

半角的正弦公式

$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$

​

 

半角的余弦公式

$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$

​

 

半角的正切公式

$\tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}=\frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$

​=1+cosαsinα​=sinα1−cosα​

 

辅助角公式

$a\sin\alpha + b\cos\alpha=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\alpha + \varphi)$

​sin(α+φ)，其中 $\tan\varphi=\frac{b}{a}$ 。该公式可将形如 $a\sin\alpha + b\cos\alpha$ 的式子化为一个角的一个三角函数形式，便于研究函数性质。

以上公式中，$\alpha$，$\beta$ 为任意角。在使用这些公式时，要注意公式的结构特征、符号规律以及角的取值范围等。