对数函数的十个计算公式有哪些?

以下为对数函数常见的十个计算公式：

基本性质

对数恒等式：$a^{\log_{a}N}=N$ ($a＞0,a≠1,N＞0$)

解释：对数函数$y = \log_{a}x$与指数函数$y = a^{x}$互为反函数，该式体现了两者之间的对应关系。例如当$a = 2$，$N = 8$时，$\log_{2}8 = 3$，那么$2^{\log_{2}8}=2^{3}=8$ 。

 

$\log_{a}a = 1$ ($a＞0,a≠1$)

解释：根据对数的定义，$a^{1}=a$，所以以$a$为底$a$的对数等于$1$。例如$\log_{10}10 = 1$ ，$\log_{e}e = 1$（$e$是自然常数，约为2.71828 ）。

 

$\log_{a}1 = 0$ ($a＞0,a≠1$)

解释：因为任何非零数的$0$次方都等于$1$，即$a^{0}=1$，所以$\log_{a}1 = 0$。例如$\log_{5}1 = 0$ 。

 

运算性质

$\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N$ ($a＞0,a≠1,M＞0,N＞0$)

解释：设$\log_{a}M = p$，$\log_{a}N = q$，则$a^{p}=M$，$a^{q}=N$。那么$MN = a^{p}×a^{q}=a^{p + q}$，所以$\log_{a}(MN)=p + q=\log_{a}M+\log_{a}N$。例如$\log_{2}(4×8)=\log_{2}4+\log_{2}8 = 2 + 3 = 5$ 。

 

$\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N$ ($a＞0,a≠1,M＞0,N＞0$)

解释：同样设$\log_{a}M = p$，$\log_{a}N = q$，则$\frac{M}{N}=\frac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p - q}$，所以$\log_{a}\frac{M}{N}=p - q=\log_{a}M-\log_{a}N$。例如$\log_{3}\frac{27}{9}=\log_{3}27-\log_{3}9 = 3 - 2 = 1$ 。

 

$\log_{a}M^{n}=n\log_{a}M$ ($a＞0,a≠1,M＞0,n\in R$)

解释：设$\log_{a}M = p$，则$M = a^{p}$，$M^{n}=(a^{p})^{n}=a^{np}$，所以$\log_{a}M^{n}=np=n\log_{a}M$。例如$\log_{5}25^{2}=2\log_{5}25 = 2×2 = 4$ 。

 

换底公式及推论

换底公式：$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$ ($a＞0,a≠1,b＞0,c＞0,c≠1$)

解释：换底公式可以将不同底数的对数转化为相同底数的对数进行计算。例如计算$\log_{2}5$，利用换底公式换成以$10$为底，$\log_{2}5=\frac{\log_{10}5}{\log_{10}2}$ ，方便借助计算器求值。

 

1：$\log_{a}b\cdot\log_{b}a = 1$ ($a＞0,a≠1,b＞0,b≠1$)

解释：由换底公式$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$，$\log_{b}a=\frac{\log_{c}a}{\log_{c}b}$，那么$\log_{a}b\cdot\log_{b}a=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}×\frac{\log_{c}a}{\log_{c}b}=1$。

 

推论2：$\log_{a^{m}}b^{n}=\frac{n}{m}\log_{a}b$ ($a＞0,a≠1,b＞0,m\neq0$)

解释：根据换底公式$\log_{a^{m}}b^{n}=\frac{\log_{a}b^{n}}{\log_{a}a^{m}}=\frac{n\log_{a}b}{m\log_{a}a}=\frac{n}{m}\log_{a}b$ 。例如$\log_{4}8=\log_{2^{2}}2^{3}=\frac{3}{2}\log_{2}2=\frac{3}{2}$ 。

 

推论3：$\log_{a}b\cdot\log_{b}c\cdot\log_{c}d=\log_{a}d$ ($a＞0,a≠1,b＞0,b≠1,c＞0,c≠1,d＞0$)

解释：利用换底公式逐步化简，$\log_{a}b\cdot\log_{b}c\cdot\log_{c}d=\frac{\lg b}{\lg a}×\frac{\lg c}{\lg b}×\frac{\lg d}{\lg c}=\frac{\lg d}{\lg a}=\log_{a}d$（这里$\lg$是以10为底的对数符号 ）。