详细解释一下三角形的几个“心”

三角形有许多重要的“心”，它们具有独特的性质和意义，常见的主要有以下几种：

重心

定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

作法：分别作出三角形三边的中点，然后连接顶点与对边中点得到三条中线，三条中线的交点即为重心。

性质：

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是$2:1$。例如，在$\triangle ABC$中，$AD$、$BE$、$CF$是三条中线，$G$为重心，则$AG = 2GD$，$BG = 2GE$，$CG = 2GF$。

重心和三角形$3$个顶点组成的$3$个三角形面积相等。即$S_{\triangle ABG}=S_{\triangle BCG}=S_{\triangle ACG}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$。

 

外心

定义：三角形三边垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即三角形外接圆的圆心。

作法：分别作三角形三边的垂直平分线，三条垂直平分线的交点就是外心。

性质：

外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆的半径$R$。即$OA = OB = OC = R$（$O$为外心）。

锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部。

 

内心

定义：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，即三角形内切圆的圆心。

作法：分别作出三角形三个内角的平分线，三条角平分线的交点即为内心。

性质：

内心到三角形三边的距离相等，这个距离就是内切圆的半径$r$。

若$\triangle ABC$的三边分别为$a$、$b$、$c$，面积为$S$，则其内切圆半径$r = \frac{2S}{a + b + c}$。

 

垂心

定义：三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心。

作法：分别作出三角形三条边上的高（或延长线），三条高所在直线的交点就是垂心。

性质：

锐角三角形的垂心在三角形内部；直角三角形的垂心在直角顶点；钝角三角形的垂心在三角形外部。

在$\triangle ABC$中，$H$为垂心，则$\angle BHC = 180^{\circ}-\angle A$，$\angle AHB = 180^{\circ}-\angle C$，$\angle AHC = 180^{\circ}-\angle B$。

 

旁心

定义：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线的交点叫做三角形的旁心。一个三角形有三个旁心。

作法：作出三角形一个内角的平分线和另外两个角的外角平分线，它们的交点即为旁心。

性质：

旁心到三角形三边所在直线的距离相等，以旁心为圆心可以作圆与三角形的一边及其他两边的延长线相切。

每个旁心都与三角形的三条边（包括延长线）有特定的位置关系，在涉及三角形边角关系的一些复杂几何问题中有重要应用。