三角函数的概念是什么?

三角函数是基本初等函数之一，它以角度（数学上最常用弧度制 ）为自变量，以任意角的终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。以下从初中和高中两个阶段详细介绍三角函数的概念：

初中阶段

在直角三角形中定义三角函数。对于一个锐角$\angle C = 90^{\circ}$的直角三角形$ABC$，$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$所对的边分别记为$a$、$b$、$c$。

正弦函数（$\sin$）：$\angle A$的正弦是$\angle A$的对边与斜边的比，记作$\sin A=\frac{a}{c}$。例如，在一个直角边分别为$3$和$4$，斜边为$5$的直角三角形中，若$\angle A$所对直角边为$3$，斜边为$5$，那么$\sin A = \frac{3}{5}$。

余弦函数（$\cos$）：$\angle A$的余弦是$\angle A$的邻边与斜边的比，记作$\cos A=\frac{b}{c}$ 。在上述例子中，$\cos A = \frac{4}{5}$。

正切函数（$\tan$）：$\angle A$的正切是$\angle A$的对边与邻边的比，记作$\tan A=\frac{a}{b}$。所以在该例子里，$\tan A = \frac{3}{4}$。

高中阶段

在平面直角坐标系中，以原点$O$为圆心，作单位圆（半径$r = 1$ 的圆）。设$\alpha$是一个任意角，它的终边与单位圆交于点$P(x,y)$。

正弦函数：$\sin\alpha = y$。也就是说，角$\alpha$的正弦值等于其终边与单位圆交点的纵坐标。例如，若角$\alpha$终边与单位圆交点$P$的坐标为$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$

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​​)，那么$\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$

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余弦函数：$\cos\alpha = x$。即角$\alpha$的余弦值等于其终边与单位圆交点的横坐标。在上述例子中，$\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$

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正切函数：$\tan\alpha=\frac{y}{x}(x\neq0)$。角$\alpha$的正切值是其终边与单位圆交点的纵坐标与横坐标的比值（横坐标不为$0$ ）。当$x = 0$时，$\tan\alpha$不存在。

此外，还有余切（$\cot\alpha=\frac{x}{y},y\neq0$ ）、正割（$\sec\alpha=\frac{1}{x},x\neq0$ ）、余割（$\csc\alpha=\frac{1}{y},y\neq0$ ）等三角函数，不过在中学阶段正弦、余弦、正切是最为常用的三角函数。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具，在物理学、工程学等众多领域都有广泛应用。