对勾函数的性质有哪些

对勾函数是一种形如 $y = ax + \frac{b}{x}$（$a\gt0$，$b\gt0$）的函数，因其图象形状酷似对勾，故被称为对勾函数。它具有以下性质：

定义域与值域

定义域：$x\neq0$，即$(-\infty, 0)\cup(0, +\infty)$。

值域：当 $x\gt0$ 时，根据均值不等式 $ax + \frac{b}{x} \geq 2\sqrt{ax\cdot\frac{b}{x}} = 2\sqrt{ab}$

​=2ab

​，当且仅当 $ax = \frac{b}{x}$（即 $x = \sqrt{\frac{b}{a}}$

​）时取等号；当 $x\lt0$ 时，$-x\gt0$，则 $y = ax + \frac{b}{x} = -\left[(-ax) + \frac{b}{-x}\right]\leq - 2\sqrt{(-ax)\cdot\frac{b}{-x}} = -2\sqrt{ab}$

​=−2ab

​，当且仅当 $-ax = \frac{b}{-x}$（即 $x = -\sqrt{\frac{b}{a}}$

​）时取等号。所以值域是$(-\infty, -2\sqrt{ab}]\cup[2\sqrt{ab}, +\infty)$

​]∪[2ab

​,+∞)。

单调性

求导判断：对 $y = ax + \frac{b}{x}$ 求导，可得 $y^\prime = a - \frac{b}{x^2}$。

令 $y^\prime\gt0$，即 $a - \frac{b}{x^2} \gt 0$，解不等式 $\frac{b}{x^2} \lt a$，当 $x\gt0$ 时，$x^2 \gt \frac{b}{a}$，解得 $x \gt \sqrt{\frac{b}{a}}$

​；当 $x\lt0$ 时，$x^2 \gt \frac{b}{a}$，解得 $x \lt -\sqrt{\frac{b}{a}}$

​。所以函数的单调递增区间是$(-\infty, -\sqrt{\frac{b}{a}})$

​)和$(\sqrt{\frac{b}{a}}, +\infty)$

​,+∞)。

令 $y^\prime\lt0$，即 $a - \frac{b}{x^2} \lt 0$，解不等式 $\frac{b}{x^2} \gt a$，当 $x\gt0$ 时，$x^2 \lt \frac{b}{a}$，解得 $0 \lt x \lt \sqrt{\frac{b}{a}}$

​；当 $x\lt0$ 时，$x^2 \lt \frac{b}{a}$，解得 $-\sqrt{\frac{b}{a}} \lt x \lt 0$

​<x<0。所以函数的单调递减区间是$(-\sqrt{\frac{b}{a}}, 0)$

​,0)和$(0, \sqrt{\frac{b}{a}})$

​)。

奇偶性

对勾函数 $y = ax + \frac{b}{x}$ 满足 $f(-x) = a(-x) + \frac{b}{-x} = -(ax + \frac{b}{x}) = -f(x)$，所以它是奇函数，其图象关于原点对称。

渐近线

垂直渐近线：$x = 0$ 是对勾函数的垂直渐近线，即当 $x$ 趋近于 $0$ 时，函数值趋近于正无穷或负无穷。

斜渐近线：当 $x\to\pm\infty$ 时，$\frac{b}{x}\to0$，此时 $y = ax + \frac{b}{x}$ 近似于 $y = ax$，所以 $y = ax$ 是对勾函数的斜渐近线 。