双曲线的渐进线方程的公式

对于双曲线，其渐近线方程的公式因焦点位置不同而有所区别：

焦点在$x$轴上的双曲线

标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt0$，$b\gt0$），渐近线方程为$y = \pm\frac{b}{a}x$。

推导过程：当双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt0$，$b\gt0$）上的点$(x,y)$无限远离原点时，双曲线与直线越来越接近。此时$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$可近似看作$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 0$ ，即$\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{x^{2}}{a^{2}}$，两边开方可得$y = \pm\frac{b}{a}x$。

焦点在$y$轴上的双曲线

标准方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt0$，$b\gt0$），渐近线方程为$y = \pm\frac{a}{b}x$ 。

推导思路与焦点在$x$轴上的情况类似，由$\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$，当点$(x,y)$无限远离原点时，近似有$\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 0$ ，即$\frac{y^{2}}{a^{2}}=\frac{x^{2}}{b^{2}}$，两边开方得到$y = \pm\frac{a}{b}x$ 。