扇形面积公式?弧长公式?

扇形面积公式

已知圆心角弧度和半径：

若扇形的圆心角为$\alpha$（弧度制），半径为$r$，则扇形面积公式为$S=\frac{1}{2}\alpha r^{2}$。

推导过程：我们可以把扇形看成是一个曲边三角形，类比三角形面积公式$S_{\triangle}=\frac{1}{2}ah$（$a$为底边长，$h$为高）。在扇形中，弧长$l = \alpha r$相当于曲边三角形的底边长，半径$r$相当于高，所以扇形面积$S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}\alpha r\cdot r=\frac{1}{2}\alpha r^{2}$ 。

已知圆心角度数和半径：

当扇形的圆心角为$n^{\circ}$，半径为$r$时，扇形面积公式是$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$。

推导过程：整个圆的面积为$S_{圆}=\pi r^{2}$，圆的圆心角是$360^{\circ}$。扇形的圆心角占整个圆的圆心角的比例为$\frac{n}{360}$，那么扇形面积$S$就等于整个圆面积的$\frac{n}{360}$，即$S = \frac{n}{360}\times\pi r^{2}=\frac{n\pi r^{2}}{360}$。

弧长公式

已知圆心角弧度和半径：

若扇形的圆心角为$\alpha$（弧度制），半径为$r$，弧长公式为$l=\alpha r$。

推导思路：弧度的定义是弧长与半径的比值，即$\alpha=\frac{l}{r}$（$\alpha$为圆心角弧度数，$l$为弧长，$r$为半径），变形可得$l = \alpha r$。

已知圆心角度数和半径：

当扇形的圆心角为$n^{\circ}$，半径为$r$时，弧长公式为$l=\frac{n\pi r}{180}$。

推导过程：整个圆的周长为$C = 2\pi r$，圆的圆心角是$360^{\circ}$。扇形的圆心角$n^{\circ}$所对的弧长$l$占整个圆周长的比例为$\frac{n}{360}$，所以弧长$l=\frac{n}{360}\times2\pi r=\frac{n\pi r}{180}$ 。

总结来说，扇形面积公式$S=\frac{1}{2}\alpha r^{2}$（$\alpha$为弧度制圆心角）或$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（$n$为角度制圆心角）；弧长公式$l=\alpha r$（$\alpha$为弧度制圆心角）或$l=\frac{n\pi r}{180}$（$n$为角度制圆心角）。