cotx的导是什么?

方法一：利用商的求导法则

首先，我们知道$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$。

根据商的求导法则$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}$（其中$u = \cos x$，$v=\sin x$）。

对$u=\cos x$求导，$u^\prime = (\cos x)^\prime = -\sin x$；对$v = \sin x$求导，$v^\prime = (\sin x)^\prime=\cos x$。

将$u^\prime$，$v^\prime$，$u$，$v$代入商的求导法则公式可得：

$(\cot x)^\prime = (\frac{\cos x}{\sin x})^\prime=\frac{(\cos x)^\prime\sin x-\cos x(\sin x)^\prime}{\sin^{2}x}$。

把$(\cos x)^\prime = -\sin x$，$(\sin x)^\prime=\cos x$代入上式，得到$\frac{-\sin x\cdot\sin x - \cos x\cdot\cos x}{\sin^{2}x}$。

进一步化简分子：$-\sin^{2}x-\cos^{2}x = -(\sin^{2}x+\cos^{2}x)$，而$\sin^{2}x+\cos^{2}x = 1$。

所以$(\cot x)^\prime=\frac{-(\sin^{2}x + \cos^{2}x)}{\sin^{2}x}=-\frac{1}{\sin^{2}x}=-\csc^{2}x$。

方法二：利用复合函数求导法则

因为$\cot x=\tan^{-1}x$（这里$\tan^{-1}$表示$\tan$的倒数关系），令$u = \tan x$，则$\cot x=\frac{1}{u}$。

先对$y=\frac{1}{u}=u^{-1}$关于$u$求导，根据幂函数求导公式$(x^{n})^\prime = nx^{n - 1}$，可得$y^\prime_{u}=-u^{-2}=-\frac{1}{u^{2}}$。

再对$u = \tan x$求导，$(\tan x)^\prime=\sec^{2}x$。

根据复合函数求导法则$y^\prime_{x}=y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}$。

把$y^\prime_{u}=-\frac{1}{u^{2}}$，$u = \tan x$，$u^\prime_{x}=\sec^{2}x$代入可得：

$y^\prime_{x}=-\frac{1}{\tan^{2}x}\cdot\sec^{2}x$。

又因为$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$，$\sec x=\frac{1}{\cos x}$，则$-\frac{1}{\tan^{2}x}\cdot\sec^{2}x=-\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}\cdot\frac{1}{\cos^{2}x}=-\frac{1}{\sin^{2}x}=-\csc^{2}x$。

综上，$\cot x$的导数是$-\csc^{2}x$ 。