如果函数里有三次方,如何把他因式分解?顺便举例!

对于三次函数（多项式）的因式分解，常见的方法有以下几种：

1. 提取公因式法

如果多项式各项有公因式，先提取公因式，再进一步分解。
例如：对于函数$f(x)=3x^{3}-6x^{2}$，每一项都含有公因式$3x^{2}$，则可先提取公因式得到$f(x)=3x^{2}(x - 2)$。

2. 公式法

立方和公式：$a^{3}+b^{3}=(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})$

立方差公式：$a^{3}-b^{3}=(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})$

例如：

对于函数$y = x^{3}+8$，可将$8$写成$2^{3}$，即$y=x^{3}+2^{3}$，根据立方和公式可得$y=(x + 2)(x^{2}-2x + 4)$。

对于函数$g(x)=x^{3}-27$，把$27$写成$3^{3}$，即$g(x)=x^{3}-3^{3}$，依据立方差公式，$g(x)=(x - 3)(x^{2}+3x + 9)$。

3. 分组分解法

通过合理分组，使每组都有公因式可提，然后再进一步分解。
例如：对于函数$h(x)=x^{3}+x^{2}-x - 1$

第一步分组：$h(x)=(x^{3}+x^{2})-(x + 1)$

第二步分别提取公因式：$x^{2}(x + 1)-(x + 1)$

第三步再次提取公因式$(x + 1)$：$h(x)=(x + 1)(x^{2}-1)$

第四步继续分解$x^{2}-1$（利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$）：$h(x)=(x + 1)(x + 1)(x - 1)=(x + 1)^{2}(x - 1)$

4. 试根法

对于形如$ax^{3}+bx^{2}+cx + d$（$a\neq0$）的三次多项式，如果能找到一个根$x = k$（通常从$\pm1,\pm2,\pm\frac{d}{a}$等简单值尝试）使得$ak^{3}+bk^{2}+ck + d = 0$，那么$(x - k)$就是该多项式的一个因式，然后用多项式除法（长除法或综合除法）将原多项式除以$(x - k)$，得到一个二次多项式，再对二次多项式进行分解。

例如：对于函数$F(x)=2x^{3}-3x^{2}-5x + 6$

尝试$x = 1$：$2\times1^{3}-3\times1^{2}-5\times1 + 6=2 - 3 - 5 + 6 = 0$，所以$(x - 1)$是$F(x)$的一个因式。

用多项式长除法$(2x^{3}-3x^{2}-5x + 6)\div(x - 1)=2x^{2}-x - 6$

对$2x^{2}-x - 6$分解因式，可得$2x^{2}-x - 6=(2x + 3)(x - 2)$

所以$F(x)=(x - 1)(2x + 3)(x - 2)$