杨辉三角形有什么规律

杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。它具有以下多种规律：

每行数字左右对称：由 1 开始逐渐变大，然后变小，回到 1。例如第 5 行是“1 4 6 4 1”，从左到右和从右到左看数字是一样的。

第n行的数字个数为n个：第 1 行有 1 个数字，第 2 行有 2 个数字，第 3 行有 3 个数字，依此类推，第 n 行就有 n 个数字。

每个数字等于上一行的左右两个数字之和： 可用此性质写出整个杨辉三角。比如第 6 行的“5”，等于第 5 行中它上方相邻的“1”和“4”相加；“10”等于第 5 行中它上方相邻的“4”和“6”相加 。数学表达式为对于杨辉三角中的第 $n$ 行第 $k$ 个数 $C(n,k)$（$n$ 从 0 开始计数，$k$ 从 0 到 $n$），有 $C(n,k)=C(n - 1,k - 1)+C(n - 1,k)$ ，这其实就是组合数的递推公式。

第n行数字和为 $2^{n - 1}$：第 1 行数字和是 $1 = 2^{0}$；第 2 行数字和是 $1 + 1 = 2^{1}$；第 3 行数字和是 $1 + 2 + 1 = 2^{2}$；以此类推，第 $n$ 行数字和为 $2^{n - 1}$。这与二项式定理 $(a + b)^n=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$ 当 $a = b = 1$ 时的结果相呼应，即 $(1 + 1)^n = 2^n$，而杨辉三角第 $n$ 行数字就是 $(a + b)^{n - 1}$ 展开式的系数。

斜线上数字的和有规律：从左上角开始的斜线上，1、1、2、3、5、8、… ，这些数字构成斐波那契数列，即从第三项起，每一项都等于前两项之和。

二项式展开式的系数：杨辉三角的第 $n$ 行数字恰好是二项式 $(a + b)^{n - 1}$ 展开式按 $a$ 的降幂、$b$ 的升幂排列的各项系数。例如 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，系数 1、2、1 正是杨辉三角第 3 行的数字；$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$，系数 1、3、3、1 是杨辉三角第 4 行的数字。

行数为质数的行除两端的 1 以外：其余所有数都能被行数整除。例如第 7 行（7 是质数）的数字为 1、6、15、20、15、6、1，其中 6、15、20 都能被 7 整除。