三倍角公式是什么?

三倍角公式是把形如 $\sin3\alpha$、$\cos3\alpha$ 、$\tan3\alpha$ 等三角函数用对应单倍角 $\alpha$ 的三角函数表示的恒等式，具体如下：

正弦三倍角公式

$\sin3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^{3}\alpha$

推导过程：

根据两角和的正弦公式 $\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$，可得 $\sin3\alpha=\sin(2\alpha+\alpha)$。

那么 $\sin(2\alpha+\alpha)=\sin2\alpha\cos\alpha+\cos2\alpha\sin\alpha$。

再根据二倍角公式 $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$，$\cos2\alpha = 1 - 2\sin^{2}\alpha$，将其代入上式：

$\sin3\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\cdot\cos\alpha+(1 - 2\sin^{2}\alpha)\sin\alpha$。

即 $\sin3\alpha = 2\sin\alpha(1 - \sin^{2}\alpha)+ \sin\alpha - 2\sin^{3}\alpha$（因为 $\cos^{2}\alpha = 1 - \sin^{2}\alpha$）。

展开式子得到 $\sin3\alpha = 2\sin\alpha - 2\sin^{3}\alpha + \sin\alpha - 2\sin^{3}\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^{3}\alpha$。

 

 

余弦三倍角公式

$\cos3\alpha = 4\cos^{3}\alpha - 3\cos\alpha$

推导过程：

同样根据两角和的余弦公式 $\cos(A + B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$，可得 $\cos3\alpha=\cos(2\alpha+\alpha)$。

即 $\cos(2\alpha+\alpha)=\cos2\alpha\cos\alpha-\sin2\alpha\sin\alpha$。

由二倍角公式 $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$，$\cos2\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1$，代入上式：

$\cos3\alpha=(2\cos^{2}\alpha - 1)\cos\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha\cdot\sin\alpha$。

进一步变形为 $\cos3\alpha = 2\cos^{3}\alpha - \cos\alpha - 2\cos\alpha(1 - \cos^{2}\alpha)$（因为 $\sin^{2}\alpha = 1 - \cos^{2}\alpha$）。

展开式子得到 $\cos3\alpha = 2\cos^{3}\alpha - \cos\alpha - 2\cos\alpha + 2\cos^{3}\alpha = 4\cos^{3}\alpha - 3\cos\alpha$。

 

 

正切三倍角公式

$\tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha - \tan^{3}\alpha}{1 - 3\tan^{2}\alpha}$

推导过程：

根据正切函数的定义 $\tan(A + B)=\frac{\tan A+\tan B}{1 - \tan A\tan B}$，可得 $\tan3\alpha=\tan(2\alpha+\alpha)$。

即 $\tan(2\alpha+\alpha)=\frac{\tan2\alpha+\tan\alpha}{1 - \tan2\alpha\tan\alpha}$。

由二倍角正切公式 $\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}$，代入上式：

$\tan3\alpha=\frac{\frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}+\tan\alpha}{1-\frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}\cdot\tan\alpha}$。

对上式分子分母同乘 $1 - \tan^{2}\alpha$ 进行化简：

分子变为 $2\tan\alpha+(1 - \tan^{2}\alpha)\tan\alpha = 2\tan\alpha+\tan\alpha - \tan^{3}\alpha = 3\tan\alpha - \tan^{3}\alpha$。

分母变为 $(1 - \tan^{2}\alpha)-2\tan^{2}\alpha = 1 - 3\tan^{2}\alpha$。

所以 $\tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha - \tan^{3}\alpha}{1 - 3\tan^{2}\alpha}$ 。