切线方程公式是什么?

切线方程在不同的函数形式和情境下，公式有所不同，以下是常见的几种情况：

1. 点斜式求曲线在某点处的切线方程

对于函数 $y = f(x)$，若函数在点 $x = x_0$ 处可导，首先求出函数在该点的导数 $f^\prime(x_0)$，此导数的值就是曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, y_0)$（其中 $y_0 = f(x_0)$）处切线的斜率 $k$。

根据直线的点斜式方程 $y - y_1 = k(x - x_1)$（其中 $(x_1, y_1)$ 为直线上一点，$k$ 为直线斜率），那么曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线方程为 $y - f(x_0)= f^\prime(x_0)(x - x_0)$。

2. 圆的切线方程

已知圆的标准方程为 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，圆心坐标为 $(a,b)$，半径为 $r$。

若点 $P(x_0,y_0)$ 在圆上，则过点 $P$ 的切线方程为 $(x_0 - a)(x - a)+(y_0 - b)(y - b)= r^2$。

若点 $P(x_0,y_0)$ 在圆外，设切线方程为 $y - y_0 = k(x - x_0)$，即 $kx - y + y_0 - kx_0 = 0$。根据圆心到切线的距离等于半径，由点到直线的距离公式$d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

​∣Ax0​+By0​+C∣​（这里 $A = k$，$B = -1$，$C = y_0 - kx_0$），可得$\frac{\vert ka - b + y_0 - kx_0\vert}{\sqrt{k^2 + 1}} = r$

​∣ka−b+y0​−kx0​∣​=r ，解出 $k$ 的值后代入切线方程 $y - y_0 = k(x - x_0)$ 即可得到切线方程（可能有两条切线）。

3. 椭圆的切线方程

椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt b\gt0$）。

若点 $P(x_0,y_0)$ 在椭圆上，则过点 $P$ 的切线方程为 $\frac{x_0x}{a^{2}}+\frac{y_0y}{b^{2}} = 1$ 。

4. 双曲线的切线方程

双曲线标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt0,b\gt0$）。

若点 $P(x_0,y_0)$ 在双曲线上，则过点 $P$ 的切线方程为 $\frac{x_0x}{a^{2}}-\frac{y_0y}{b^{2}} = 1$ 。

5. 抛物线的切线方程

抛物线方程为 $y^{2}=2px$ （$p\gt0$）。

若点 $P(x_0,y_0)$ 在抛物线上，则过点 $P$ 的切线方程为 $y_0y = p(x + x_0)$ 。