双曲线的渐近线方程是什么?

对于双曲线，其渐近线方程因焦点位置不同而有所区别：

焦点在$x$轴上的双曲线

标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt0$，$b\gt0$），渐近线方程是$y = \pm\frac{b}{a}x$ 。

焦点在$y$轴上的双曲线

标准方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ （$a\gt0$，$b\gt0$），渐近线方程为$y = \pm\frac{a}{b}x$ 。

推导过程（以焦点在$x$轴上的双曲线为例）：

已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，移项可得$\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{x^{2}}{a^{2}} - 1$ ，即$y^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}-b^{2}$ 。

当$x\to\infty$时，$-b^{2}$相对$\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}$ 可忽略不计，则$y^{2}\approx\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}$ ，两边开方得$y\approx\pm\frac{b}{a}x$ ，这就是渐近线方程。