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三角函数导数公式

发布日期:2025-04-12

以下是常见三角函数的导数公式:

正弦函数(sinx)=cosx(\sin x)^\prime = \cos x

推导过程:根据导数的定义f(x)=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δxf^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x},对于y=sinxy = \sin x,则有y=limΔx0sin(x+Δx)sinxΔxy^\prime=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x}

利用三角函数两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B,可得sin(x+Δx)=sinxcosΔx+cosxsinΔx\sin(x + \Delta x)=\sin x\cos\Delta x+\cos x\sin\Delta x

代入导数定义式得:y=limΔx0sinxcosΔx+cosxsinΔxsinxΔx=limΔx0(sinxcosΔx1Δx+cosxsinΔxΔx)y^\prime=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x\cos\Delta x+\cos x\sin\Delta x - \sin x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} (\sin x\frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x}+\cos x\frac{\sin\Delta x}{\Delta x})

根据极限limΔx0cosΔx1Δx=0\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x}=0limΔx0sinΔxΔx=1\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\sin\Delta x}{\Delta x}=1,最终得出(sinx)=cosx(\sin x)^\prime = \cos x

 

余弦函数(cosx)=sinx(\cos x)^\prime = -\sin x

同样根据导数定义y=limΔx0cos(x+Δx)cosxΔxy^\prime=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x}

利用两角和公式cos(A+B)=cosAcosBsinAsinB\cos(A + B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B,即cos(x+Δx)=cosxcosΔxsinxsinΔx\cos(x + \Delta x)=\cos x\cos\Delta x-\sin x\sin\Delta x

代入导数定义式并化简:y=limΔx0cosxcosΔxsinxsinΔxcosxΔx=limΔx0(cosxcosΔx1ΔxsinxsinΔxΔx)y^\prime=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\cos x\cos\Delta x-\sin x\sin\Delta x - \cos x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} (\cos x\frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x}-\sin x\frac{\sin\Delta x}{\Delta x})

结合上述极限值,得到(cosx)=sinx(\cos x)^\prime = -\sin x

 

正切函数(tanx)=sec2x(\tan x)^\prime=\sec^{2}x

因为tanx=sinxcosx\tan x = \frac{\sin x}{\cos x},根据除法求导公式(uv)=uvuvv2(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}(这里u=sinxu = \sin xu=cosxu^\prime=\cos xv=cosxv = \cos xv=sinxv^\prime = -\sin x)。

(tanx)=(sinx)cosxsinx(cosx)cos2x=cosxcosxsinx(sinx)cos2x=cos2x+sin2xcos2x(\tan x)^\prime=\frac{(\sin x)^\prime\cos x - \sin x(\cos x)^\prime}{\cos^{2}x}=\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x}=\frac{\cos^{2}x + \sin^{2}x}{\cos^{2}x}

由于sin2x+cos2x=1\sin^{2}x+\cos^{2}x = 1,所以(tanx)=1cos2x=sec2x(\tan x)^\prime=\frac{1}{\cos^{2}x}=\sec^{2}x

 

余切函数(cotx)=csc2x(\cot x)^\prime = -\csc^{2}x

因为cotx=cosxsinx\cot x=\frac{\cos x}{\sin x},再次利用除法求导公式。

u=cosxu = \cos xu=sinxu^\prime = -\sin xv=sinxv = \sin xv=cosxv^\prime=\cos x

(cotx)=(cosx)sinxcosx(sinx)sin2x=sinxsinxcosxcosxsin2x=sin2x+cos2xsin2x(\cot x)^\prime=\frac{(\cos x)^\prime\sin x - \cos x(\sin x)^\prime}{\sin^{2}x}=\frac{-\sin x\cdot\sin x - \cos x\cdot\cos x}{\sin^{2}x}=-\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin^{2}x}

sin2x+cos2x=1\sin^{2}x+\cos^{2}x = 1,可得(cotx)=csc2x(\cot x)^\prime = -\csc^{2}x

 

正割函数(secx)=secxtanx(\sec x)^\prime=\sec x\tan x

由于secx=1cosx\sec x=\frac{1}{\cos x},根据复合函数求导法则(1v)=vv2(\frac{1}{v})^\prime = -\frac{v^\prime}{v^{2}}(这里v=cosxv = \cos xv=sinxv^\prime = -\sin x)。

所以(secx)=(sinx)cos2x=sinxcos2x=1cosxsinxcosx=secxtanx(\sec x)^\prime=-\frac{(-\sin x)}{\cos^{2}x}=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\sec x\tan x

 

余割函数(cscx)=cscxcotx(\csc x)^\prime = -\csc x\cot x

因为cscx=1sinx\csc x=\frac{1}{\sin x},同样根据复合函数求导法则(1v)=vv2(\frac{1}{v})^\prime = -\frac{v^\prime}{v^{2}}(这里v=sinxv = \sin xv=cosxv^\prime=\cos x)。

(cscx)=cosxsin2x=1sinxcosxsinx=cscxcotx(\csc x)^\prime=-\frac{\cos x}{\sin^{2}x}=-\frac{1}{\sin x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=-\csc x\cot x

 

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