焦点在x轴上的双曲线a2x2−b2y2=1(a>0,b>0)的参数方程:
标准形式为{x=asecφy=btanφ(φ为参数),其中secφ=cosφ1。这里参数φ的几何意义是双曲线上一点M(x,y)对应的离心角 。
推导过程:我们知道sec2φ−tan2φ=1。令x=asecφ,y=btanφ,则a2x2=sec2φ,b2y2=tan2φ,那么a2x2−b2y2=sec2φ−tan2φ=1,符合双曲线a2x2−b2y2=1的方程形式。
焦点在y轴上的双曲线a2y2−b2x2=1(a>0,b>0)的参数方程:
标准形式为{x=btanφy=asecφ(φ为参数)。同样基于sec2φ−tan2φ=1,当令x=btanφ,y=asecφ时,a2y2=sec2φ,b2x2=tan2φ,所以a2y2−b2x2=sec2φ−tan2φ=1,满足双曲线a2y2−b2x2=1的方程。