双曲线的参数方程是咋样的?

焦点在$x$轴上的双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt0$，$b\gt0$）的参数方程：

标准形式为$\begin{cases}x = a\sec\varphi \\ y = b\tan\varphi\end{cases}$（$\varphi$为参数），其中$\sec\varphi=\frac{1}{\cos\varphi}$。这里参数$\varphi$的几何意义是双曲线上一点$M(x,y)$对应的离心角 。

推导过程：我们知道$\sec^{2}\varphi - \tan^{2}\varphi = 1$。令$x = a\sec\varphi$，$y = b\tan\varphi$，则$\frac{x^{2}}{a^{2}}=\sec^{2}\varphi$，$\frac{y^{2}}{b^{2}}=\tan^{2}\varphi$，那么$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\sec^{2}\varphi - \tan^{2}\varphi = 1$，符合双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$的方程形式。

焦点在$y$轴上的双曲线$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt0$，$b\gt0$）的参数方程：

标准形式为$\begin{cases}x = b\tan\varphi \\ y = a\sec\varphi\end{cases}$（$\varphi$为参数）。同样基于$\sec^{2}\varphi - \tan^{2}\varphi = 1$，当令$x = b\tan\varphi$，$y = a\sec\varphi$时，$\frac{y^{2}}{a^{2}}=\sec^{2}\varphi$，$\frac{x^{2}}{b^{2}}=\tan^{2}\varphi$，所以$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=\sec^{2}\varphi - \tan^{2}\varphi = 1$，满足双曲线$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$的方程。