急求双曲线的焦半径公式!请分情况(左右支)详细说明!

对于双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt0,b\gt0$）

点$P(x_{0},y_{0})$在双曲线左支上：

设双曲线的左、右焦点分别为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$（$c^2 = a^2 + b^2$）。

根据双曲线的第二定义（平面内到一个定点和一条定直线的距离之比为常数$e$（$e\gt1$）的点的轨迹为双曲线，其中定点为焦点，定直线为准线），双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$的准线方程为$x = \pm\frac{a^{2}}{c}$。

点$P(x_{0},y_{0})$到左准线$x = -\frac{a^{2}}{c}$的距离$d_1=x_{0}+\frac{a^{2}}{c}$。

离心率$e=\frac{c}{a}$，由双曲线的第二定义$\vert PF_1\vert = e\cdot d_1$，可得$\vert PF_1\vert = e\left(x_{0}+\frac{a^{2}}{c}\right)=ex_{0}+a$，又$e = \frac{c}{a}$，所以$\vert PF_1\vert=- (ex_{0}+a)$（因为$x_{0}\lt - a$，$ex_{0}+a\lt0$，取绝对值后加负号保证焦半径为正）。

点$P(x_{0},y_{0})$到右准线$x=\frac{a^{2}}{c}$的距离$d_2=\frac{a^{2}}{c}-x_{0}$，$\vert PF_2\vert = e\cdot d_2 = e\left(\frac{a^{2}}{c}-x_{0}\right)= - ex_{0}+a$。

点$P(x_{0},y_{0})$在双曲线右支上：

点$P(x_{0},y_{0})$到左准线$x = -\frac{a^{2}}{c}$的距离$d_1=x_{0}+\frac{a^{2}}{c}$，$\vert PF_1\vert = e\cdot d_1=ex_{0}+a$（此时$x_{0}\gt a$，$ex_{0}+a\gt0$ ）。

点$P(x_{0},y_{0})$到右准线$x=\frac{a^{2}}{c}$的距离$d_2=x_{0}-\frac{a^{2}}{c}$，$\vert PF_2\vert = e\cdot d_2 = ex_{0}-a$。

总结：

对于双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，若点$P(x_{0},y_{0})$在左支上，焦半径$\vert PF_1\vert=-(ex_{0}+a)$，$\vert PF_2\vert = - ex_{0}+a$；若点$P(x_{0},y_{0})$在右支上，焦半径$\vert PF_1\vert=ex_{0}+a$，$\vert PF_2\vert = ex_{0}-a$（其中$e=\frac{c}{a}$为双曲线的离心率）。

对于双曲线$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt0,b\gt0$）

点$P(x_{0},y_{0})$在双曲线下支上：

设双曲线的上、下焦点分别为$F_1(0,c)$，$F_2(0, - c)$（$c^2 = a^2 + b^2$），准线方程为$y=\pm\frac{a^{2}}{c}$。

点$P(x_{0},y_{0})$到下准线$y = -\frac{a^{2}}{c}$的距离$d_1=y_{0}+\frac{a^{2}}{c}$，离心率$e=\frac{c}{a}$，$\vert PF_2\vert = e\cdot d_1=ey_{0}+a$，由于$y_{0}\lt - a$，$ey_{0}+a\lt0$，所以$\vert PF_2\vert=-(ey_{0}+a)$。

点$P(x_{0},y_{0})$到上准线$y=\frac{a^{2}}{c}$的距离$d_2=\frac{a^{2}}{c}-y_{0}$，$\vert PF_1\vert = e\cdot d_2=-ey_{0}+a$。

点$P(x_{0},y_{0})$在双曲线 上支上：

点$P(x_{0},y_{0})$到下准线$y = -\frac{a^{2}}{c}$的距离$d_1=y_{0}+\frac{a^{2}}{c}$，$\vert PF_2\vert = e\cdot d_1=ey_{0}+a$（此时$y_{0}\gt a$，$ey_{0}+a\gt0$）。

点$P(x_{0},y_{0})$到上准线$y=\frac{a^{2}}{c}$的距离$d_2=y_{0}-\frac{a^{2}}{c}$，$\vert PF_1\vert = e\cdot d_2=ey_{0}-a$。

总结：

对于双曲线$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$，若点$P(x_{0},y_{0})$在下支上，焦半径$\vert PF_1\vert=-ey_{0}+a$，$\vert PF_2\vert=-(ey_{0}+a)$；若点$P(x_{0},y_{0})$在上支上，焦半径$\vert PF_1\vert=ey_{0}-a$，$\vert PF_2\vert=ey_{0}+a$（其中$e = \frac{c}{a}$为双曲线的离心率）