向量的乘积公式

向量的乘积分为数量积（点积）和向量积（叉积），以下分别介绍它们的公式：

数量积（点积）

定义式：已知两个非零向量 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

，它们的夹角为 $\theta$（$0\leqslant\theta\leqslant\pi$），那么 $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta$

⋅b

=∣a

∣∣b

∣cosθ，其中 $\vert\vec{a}\vert$

∣ 和 $\vert\vec{b}\vert$

∣ 分别表示向量 $\vec{a}$

和 $\vec{b}$

的模（长度）。

坐标表示：若 $\vec{a}=(x_1,y_1)$

=(x1​,y1​)，$\vec{b}=(x_2,y_2)$

=(x2​,y2​)，则 $\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2$

⋅b

=x1​x2​+y1​y2​。

向量积（叉积）

定义式：对于两个向量 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

，它们的向量积是一个向量，记作 $\vec{a}\times\vec{b}$

×b

。向量积的模为 $\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\theta$

×b

∣=∣a

∣∣b

∣sinθ，其中 $\theta$ 为 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

的夹角（$0\leqslant\theta\leqslant\pi$）。$\vec{a}\times\vec{b}$

×b

的方向垂直于 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

所确定的平面，且 $\vec{a}$

，$\vec{b}$

，$\vec{a}\times\vec{b}$

×b

构成右手系。

坐标表示：在三维空间中，设 $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$

=(x1​,y1​,z1​)，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$

=(x2​,y2​,z2​)，则

$$\vec{a}\times\vec{b}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2 \end{array}\right|$$

×b

=

​i

x1​x2​​j

​y1​y2​​k

z1​z2​​

​

其中 $\vec{i}$

，$\vec{j}$

​，$\vec{k}$

分别是 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向的单位向量。展开可得：
$\vec{a}\times\vec{b}=(y_1z_2 - y_2z_1)\vec{i}-(x_1z_2 - x_2z_1)\vec{j}+(x_1y_2 - x_2y_1)\vec{k}=(y_1z_2 - y_2z_1,x_2z_1 - x_1z_2,x_1y_2 - x_2y_1)$

×b

=(y1​z2​−y2​z1​)i

−(x1​z2​−x2​z1​)j

​+(x1​y2​−x2​y1​)k

=(y1​z2​−y2​z1​,x2​z1​−x1​z2​,x1​y2​−x2​y1​)

数量积常用于求向量的夹角、判断向量垂直关系等；向量积主要用于计算与向量垂直的向量、计算平行四边形面积等几何问题。