求反双曲正弦/余弦的求导公式

反双曲正弦函数的求导公式推导

反双曲正弦函数的表达式为$y = \text{arsinh}x$，它的定义为$x=\sinh y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}$。

对$x=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}$关于$x$求导，等式左边$\frac{dx}{dx}=1$。

等式右边求导：

根据复合函数求导法则，$\left(\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}\right)^\prime=\frac{1}{2}(e^{y}\cdot y^\prime+e^{-y}\cdot y^\prime)$，这里$y^\prime=\frac{dy}{dx}$。

令$y^\prime=\frac{dy}{dx}$，则$1 = \frac{1}{2}(e^{y}+e^{-y})\frac{dy}{dx}$。

由双曲函数性质可知$\cosh y=\frac{e^{y} + e^{-y}}{2}$，所以$1=\cosh y\cdot\frac{dy}{dx}$。

进而可得$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cosh y}$。

又因为$\cosh^{2}y-\sinh^{2}y = 1$，且$x = \sinh y$，那么$\cosh y=\sqrt{1+\sinh^{2}y}=\sqrt{1 + x^{2}}$

​=1+x2

​。

所以反双曲正弦函数的导数为$(\text{arsinh}x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

​1​。

反双曲余弦函数的求导公式推导

反双曲余弦函数$y=\text{arcosh}x$，其定义为$x = \cosh y=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2},(y\geq0)$。

对$x=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}$关于$x$求导，左边$\frac{dx}{dx}=1$。

右边求导：$\left(\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}\right)^\prime=\frac{1}{2}(e^{y}\cdot y^\prime - e^{-y}\cdot y^\prime)$，令$y^\prime=\frac{dy}{dx}$，则$1=\frac{1}{2}(e^{y}-e^{-y})\frac{dy}{dx}$。

由双曲函数性质$\sinh y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}$，所以$1=\sinh y\cdot\frac{dy}{dx}$，即$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sinh y}$。

由于$\cosh^{2}y-\sinh^{2}y = 1$，且$x=\cosh y$，那么$\sinh y=\sqrt{\cosh^{2}y - 1}=\sqrt{x^{2}-1}$

​=x2−1

​（因为$y\geq0$，$\sinh y\geq0$）。

所以反双曲余弦函数的导数为$(\text{arcosh}x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}},(x\gt1)$

​1​,(x>1) 。

综上，反双曲正弦函数的导数$(\text{arsinh}x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

​1​；反双曲余弦函数的导数$(\text{arcosh}x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}},(x\gt1)$

​1​,(x>1) 。