椭圆焦半径

椭圆焦半径是指椭圆上任意一点到焦点的距离。以下是关于椭圆焦半径的详细介绍：

焦点在$x$轴上的椭圆标准方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt b\gt0)$

设$F_1,F_2$分别为椭圆的左、右焦点，坐标分别为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$（$c^2 = a^2 - b^2$），$P(x_0,y_0)$是椭圆上任意一点。

左焦半径：$\vert PF_1\vert = a + ex_0$

右焦半径：$\vert PF_2\vert = a - ex_0$
其中$e=\frac{c}{a}$为椭圆的离心率。

推导过程（以右焦半径为例）：
根据两点间距离公式，$\vert PF_2\vert=\sqrt{(x_0 - c)^2 + y_0^2}$

​。
因为点$P(x_0,y_0)$在椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$上，所以$y_0^{2}=b^{2}(1 - \frac{x_0^{2}}{a^{2}})$。
将$y_0^{2}=b^{2}(1 - \frac{x_0^{2}}{a^{2}})$代入$\vert PF_2\vert=\sqrt{(x_0 - c)^2 + y_0^2}$

​可得：

$$\begin{align*} \vert PF_2\vert&=\sqrt{(x_0 - c)^2 + b^{2}(1 - \frac{x_0^{2}}{a^{2}})}\\ &=\sqrt{x_0^{2}-2cx_0 + c^{2}+b^{2}-\frac{b^{2}x_0^{2}}{a^{2}}}\\ &=\sqrt{(1 - \frac{b^{2}}{a^{2}})x_0^{2}-2cx_0 + b^{2}+c^{2}}\\ \end{align*}$$

​=x02​−2cx0​+c2+b2−a2b2x02​​

​=(1−a2b2​)x02​−2cx0​+b2+c2

​​

又因为$c^{2}=a^{2}-b^{2}$，$1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{c^{2}}{a^{2}}$，则：

$$\begin{align*} \vert PF_2\vert&=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}x_0^{2}-2cx_0 + a^{2}}\\ &=\sqrt{(\frac{c}{a}x_0 - a)^2}\\ &=\vert a - \frac{c}{a}x_0\vert \end{align*}$$

​=(ac​x0​−a)2

​=∣a−ac​x0​∣​

由于$-a\leq x_0\leq a$，所以$\vert PF_2\vert = a - ex_0$ 。同理可推导出左焦半径$\vert PF_1\vert = a + ex_0$ 。

焦点在$y$轴上的椭圆标准方程$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt b\gt0)$

设$F_1,F_2$分别为椭圆的上、下焦点，坐标分别为$F_1(0,c)$，$F_2(0,-c)$（$c^2 = a^2 - b^2$），$P(x_0,y_0)$是椭圆上任意一点。

上焦半径：$\vert PF_1\vert = a + ey_0$

下焦半径：$\vert PF_2\vert = a - ey_0$
其中$e=\frac{c}{a}$为椭圆的离心率。推导方法与焦点在$x$轴上类似 。