收敛函数的定义是?

收敛函数在不同的数学分支中有不同的侧重点，但总体围绕函数值在某种过程下趋近于一个确定的值。下面主要从数列极限和函数极限两个角度给出收敛函数的定义：

数列收敛

设 $\{ a_{n}\}$ 是一个数列，如果存在常数 $A$，对于任意给定的正数 $\varepsilon$（不论它多么小），总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式
$|a_{n} - A| < \varepsilon$
都成立，那么就称数列 $\{ a_{n}\}$ 收敛于 $A$，或称数列 $\{ a_{n}\}$ 有极限，记为 $\lim\limits_{n \to \infty}a_{n} = A$ 。此时也称数列 $\{ a_{n}\}$ 是收敛数列；如果不存在这样的常数 $A$，就说数列 $\{ a_{n}\}$ 发散 。

函数收敛

自变量趋于无穷大时函数收敛：
设函数 $f(x)$ 当 $|x|$ 大于某一正数时有定义。如果存在常数 $A$，对于任意给定的正数 $\varepsilon$（不论它多么小），总存在正数 $X$，使得当 $x > X$ 时，不等式
$|f(x) - A| < \varepsilon$
都成立，那么就称函数 $f(x)$ 当 $x \to +\infty$ 时收敛于 $A$，记作 $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = A$ 。

类似地，如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $X$，使得当 $x < -X$ 时，不等式 $|f(x) - A| < \varepsilon$ 都成立，那么就称函数 $f(x)$ 当 $x \to -\infty$ 时收敛于 $A$，记作 $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = A$ 。

当 $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = A$ 时，称 $\lim\limits_{x \to \infty}f(x) = A$，即函数 $f(x)$ 在 $x \to \infty$ 时收敛于 $A$。

自变量趋于有限值时函数收敛：
设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某一去心邻域内有定义。如果存在常数 $A$，对于任意给定的正数 $\varepsilon$（不论它多么小），总存在正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - x_{0}| < \delta$ 时，不等式
$|f(x) - A| < \varepsilon$
都成立，那么就称函数 $f(x)$ 当 $x \to x_{0}$ 时收敛于 $A$，记作 $\lim\limits_{x \to x_{0}}f(x) = A$ 。