叙述椭圆的定义,并推导椭圆的标准方程.

椭圆的定义

平面内与两个定点$F_1,F_2$的距离之和等于常数（大于$|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，用$2c$表示（$c\gt0$），常数用$2a$表示（$a\gt0$），且$2a\gt 2c$ 。

椭圆标准方程的推导

以焦点在$x$轴上为例进行推导：

建立平面直角坐标系：

取过焦点$F_1,F_2$的直线为$x$轴，线段$F_1F_2$的垂直平分线为$y$轴，建立平面直角坐标系。设$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，$M(x,y)$是椭圆上任意一点。

 

根据椭圆定义列等式：

由椭圆的定义可知，$|MF_1| + |MF_2| = 2a$。

根据两点间距离公式，$\vert MF_{1}\vert=\sqrt{(x + c)^{2}+y^{2}}$

​，$\vert MF_{2}\vert=\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}$

​，则$\sqrt{(x + c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}} = 2a$

​+(x−c)2+y2

​=2a。

 

化简等式：

移项得$\sqrt{(x + c)^{2}+y^{2}} = 2a-\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}$

​=2a−(x−c)2+y2

​。

两边平方得$(x + c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}+(x - c)^{2}+y^{2}$

​+(x−c)2+y2。

展开式子：$x^{2}+2cx + c^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}+x^{2}-2cx + c^{2}+y^{2}$

​+x2−2cx+c2+y2。

消去相同项$x^{2}$，$y^{2}$，$c^{2}$得：$4cx - 4a^{2}=-4a\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}$

​，即$a^{2}-cx=a\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}$

​。

两边再平方得$a^{4}-2a^{2}cx + c^{2}x^{2}=a^{2}(x^{2}-2cx + c^{2}+y^{2})$。

展开右边式子：$a^{4}-2a^{2}cx + c^{2}x^{2}=a^{2}x^{2}-2a^{2}cx + a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}$。

移项合并同类项得：$(a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})$。

令$b^{2}=a^{2}-c^{2}$（$b\gt0$），则$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$。

两边同时除以$a^{2}b^{2}$，得到焦点在$x$轴上椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt b\gt0)$。

 

当焦点在$y$轴上时，设$F_1(0,-c)$，$F_2(0,c)$，同样按照上述步骤推导，可得椭圆的标准方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt b\gt0)$。

综上，椭圆的标准方程有两种形式，焦点在$x$轴上是$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt b\gt0)$；焦点在$y$轴上是$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt b\gt0)$。