求弦长计算公式

弦长计算公式在不同情境下有所不同，以下是常见的几种情况：

圆中的弦长公式

已知圆的半径$r$，圆心到弦的距离$d$

弦长$l = 2\sqrt{r^{2} - d^{2}}$

​

推导过程：设圆的圆心为$O$，弦为$AB$，圆心$O$到弦$AB$的距离为$OC$（$C$为$AB$中点），连接$OA$（半径）。在直角三角形$OAC$中，根据勾股定理，$AC=\sqrt{OA^{2}-OC^{2}}$

​，因为$AB = 2AC$，$OA = r$，$OC = d$，所以弦长$l = AB = 2\sqrt{r^{2} - d^{2}}$

​。

 

已知圆的方程$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}$及直线方程$Ax + By + C = 0$

先求圆心$(a,b)$到直线$Ax + By + C = 0$的距离$d=\frac{\vert Aa + Bb + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

​∣Aa+Bb+C∣​

再根据上述弦长公式$l = 2\sqrt{r^{2} - d^{2}}$

​计算弦长。

 

椭圆中的弦长公式

设椭圆方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt b\gt0$），直线方程为$y = kx + m$，直线与椭圆相交于$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$两点。

联立直线与椭圆方程

将$y = kx + m$代入椭圆方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，得到一个关于$x$的一元二次方程$(b^{2}+a^{2}k^{2})x^{2}+2a^{2}kmx + a^{2}(m^{2}-b^{2}) = 0$。

由韦达定理可得$x_{1}+x_{2}=-\frac{2a^{2}km}{b^{2}+a^{2}k^{2}}$，$x_{1}x_{2}=\frac{a^{2}(m^{2}-b^{2})}{b^{2}+a^{2}k^{2}}$。

 

弦长公式

弦长$\vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$

​⋅(x1​+x2​)2−4x1​x2​

​

把$x_{1}+x_{2}$与$x_{1}x_{2}$的值代入上式即可求出弦长。如果直线斜率不存在，即直线方程为$x = x_{0}$，此时弦长$\vert AB\vert = 2\sqrt{b^{2}(1-\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}})}$

​。

 

双曲线中的弦长公式

设双曲线方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，直线方程为$y = kx + m$，直线与双曲线相交于$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$两点。

联立直线与双曲线方程

将$y = kx + m$代入双曲线方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，得到$(b^{2}-a^{2}k^{2})x^{2}-2a^{2}kmx - a^{2}(m^{2}+b^{2}) = 0$（当$b^{2}-a^{2}k^{2}\neq0$时）。

由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=\frac{2a^{2}km}{b^{2}-a^{2}k^{2}}$，$x_{1}x_{2}=-\frac{a^{2}(m^{2}+b^{2})}{b^{2}-a^{2}k^{2}}$。

 

弦长公式

弦长$\vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$

​⋅(x1​+x2​)2−4x1​x2​

​

若直线斜率不存在，弦长计算需根据具体情况分析。

 

抛物线中的弦长公式

设抛物线方程为$y^{2}=2px$（$p\gt0$），直线方程为$y = kx + m$，直线与抛物线相交于$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$两点。

联立直线与抛物线方程

将$y = kx + m$代入$y^{2}=2px$，得$(kx + m)^{2}=2px$，展开化为$k^{2}x^{2}+(2km - 2p)x + m^{2}=0$。

由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=-\frac{2km - 2p}{k^{2}}$，$x_{1}x_{2}=\frac{m^{2}}{k^{2}}$。

 

弦长公式

弦长$\vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$

​⋅(x1​+x2​)2−4x1​x2​

​

如果直线过抛物线焦点$F(\frac{p}{2},0)$，设直线倾斜角为$\theta$，则弦长$\vert AB\vert=\frac{2p}{\sin^{2}\theta}$ 。