椭圆的切线方程

椭圆的标准方程有两种形式，其对应的切线方程求法如下：

焦点在$x$轴上的椭圆标准方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt b\gt0$）

已知切点$P(x_{0}, y_{0})$的切线方程：

对椭圆方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$两边同时对$x$求导，利用复合函数求导法则：

等式左边求导得$\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2y\cdot y^\prime}{b^{2}} = 0$。

解出$y^\prime$，即$y^\prime = -\frac{b^{2}x}{a^{2}y}$。

那么在切点$P(x_{0}, y_{0})$处的切线斜率$k = -\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}$。

由点斜式可得切线方程为$y - y_{0}=-\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}(x - x_{0})$。

整理后得到$\frac{xx_{0}}{a^{2}}+\frac{yy_{0}}{b^{2}} = 1$。

斜率为$k$的切线方程：

设切线方程为$y = kx + m$，将其代入椭圆方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，得到$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{(kx + m)^{2}}{b^{2}} = 1$。

展开并整理得$(b^{2}+a^{2}k^{2})x^{2}+2a^{2}kmx + a^{2}(m^{2}-b^{2}) = 0$。

因为直线与椭圆相切，所以判别式$\Delta=(2a^{2}km)^{2}-4(b^{2}+a^{2}k^{2})a^{2}(m^{2}-b^{2}) = 0$。

化简求解$m$，可得$m=\pm\sqrt{a^{2}k^{2}+b^{2}}$

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所以切线方程为$y = kx\pm\sqrt{a^{2}k^{2}+b^{2}}$

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焦点在$y$轴上的椭圆标准方程$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt b\gt0$）

已知切点$P(x_{0}, y_{0})$的切线方程：

同样先对椭圆方程两边求导，$\frac{2y\cdot y^\prime}{a^{2}}+\frac{2x}{b^{2}} = 0$，解得$y^\prime = -\frac{a^{2}x}{b^{2}y}$。

在切点$P(x_{0}, y_{0})$处切线斜率$k = -\frac{a^{2}x_{0}}{b^{2}y_{0}}$。

由点斜式可得切线方程为$y - y_{0}=-\frac{a^{2}x_{0}}{b^{2}y_{0}}(x - x_{0})$，整理后为$\frac{yy_{0}}{a^{2}}+\frac{xx_{0}}{b^{2}} = 1$。

斜率为$k$的切线方程：

设切线方程为$y = kx + m$，代入椭圆方程$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$，经过类似上述的整理和利用判别式$\Delta = 0$求解$m$的过程，可得切线方程为$y = kx\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}k^{2}}$

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