函数连续的条件

函数在某一点连续需要同时满足以下三个条件：

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义：

函数在该点有定义：$f(x_0)$ 存在，即 $x = x_0$ 时，函数有确定的函数值。

函数在该点极限存在：$\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，也就是函数 $f(x)$ 当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时，左右极限都存在且相等，即 $\lim_{x \to x_0^{-}} f(x) = \lim_{x \to x_0^{+}} f(x)$ 。其中 $\lim_{x \to x_0^{-}} f(x)$ 是 $x$ 从 $x_0$ 的左侧趋近于 $x_0$ 时函数的极限（左极限），$\lim_{x \to x_0^{+}} f(x)$ 是 $x$ 从 $x_0$ 的右侧趋近于 $x_0$ 时函数的极限（右极限）。

函数在该点的极限值等于函数值：$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ 。

如果函数 $y = f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内每一点都连续，则称函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内连续；如果函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内连续，并且在左端点 $x = a$ 处右连续（即 $\lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a)$ ），在右端点 $x = b$ 处左连续（即 $\lim_{x \to b^{-}} f(x) = f(b)$ ），则称函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续 。