台体体积计算公式

台体包括棱台和圆台，它们体积计算公式本质上是统一的：
$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})$

​)
其中 $V$ 表示台体体积， $h$ 是台体的高（即上下底面之间的垂直距离）， $S_1$ 是台体上底面面积， $S_2$ 是台体下底面面积。

推导思路（以棱台为例）

棱台可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥得到的。设原棱锥的高为 $H$，截去的小棱锥高为 $H - h$（$h$ 为棱台的高）。

原棱锥体积 $V_{大}=\frac{1}{3}HS_2$ ，截去的小棱锥体积 $V_{小}=\frac{1}{3}(H - h)S_1$ 。

棱台体积 $V = V_{大}-V_{小}=\frac{1}{3}HS_2-\frac{1}{3}(H - h)S_1$

通过相似三角形关系可知 $\frac{H - h}{H}=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}$

​ ，由此可推导出 $H=\frac{h\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_2}-\sqrt{S_1}}$

​−S1​

​hS2​

​​ ，将其代入上式化简后即可得到 $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})$

​) 。

对于圆台，上底面半径为 $r_1$，下底面半径为 $r_2$， 上底面面积 $S_1=\pi r_1^{2}$，下底面面积 $S_2 = \pi r_2^{2}$，将其代入上述公式，圆台体积公式也可以写成 $V=\frac{1}{3}\pi h(r_1^{2}+r_2^{2}+r_1r_2)$ 。