数学向量公式是什么?具体的

以下是一些常见的数学向量公式：

向量的基本运算

向量加法

坐标运算：若$\vec{a}=(x_1,y_1)$

=(x1​,y1​)，$\vec{b}=(x_2,y_2)$

=(x2​,y2​)，则$\vec{a}+\vec{b}=(x_1 + x_2,y_1 + y_2)$

+b

=(x1​+x2​,y1​+y2​)

三角形法则：将向量$\vec{a}$

的终点作为向量$\vec{b}$

的起点，那么以$\vec{a}$

的起点为起点，$\vec{b}$

的终点为终点的向量就是$\vec{a}+\vec{b}$

+b

 

平行四边形法则：以同一起点的两个向量$\vec{a}$

，$\vec{b}$

为邻边作平行四边形，则从公共起点出发的对角线所表示的向量就是$\vec{a}+\vec{b}$

+b

 

 

向量减法

坐标运算：若$\vec{a}=(x_1,y_1)$

=(x1​,y1​)，$\vec{b}=(x_2,y_2)$

=(x2​,y2​)，则$\vec{a}-\vec{b}=(x_1 - x_2,y_1 - y_2)$

−b

=(x1​−x2​,y1​−y2​)

几何意义：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$

−b

=a

+(−b

)，$\vec{a}-\vec{b}$

−b

表示从向量$\vec{b}$

的终点指向向量$\vec{a}$

的终点的向量

 

向量数乘

坐标运算：若$\vec{a}=(x_1,y_1)$

=(x1​,y1​)，$\lambda$为实数，则$\lambda\vec{a}=(\lambda x_1,\lambda y_1)$

=(λx1​,λy1​)

性质：$\vert\lambda\vec{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\vec{a}\vert$

∣=∣λ∣∣a

∣；当$\lambda>0$时，$\lambda\vec{a}$

与$\vec{a}$

方向相同；当$\lambda<0$时 ，$\lambda\vec{a}$

与$\vec{a}$

方向相反；当$\lambda = 0$时，$\lambda\vec{a}=\vec{0}$

=0

 

 

向量的数量积

定义：$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta$

⋅b

=∣a

∣∣b

∣cosθ，其中$\theta$为$\vec{a}$

与$\vec{b}$

的夹角，$0\leqslant\theta\leqslant\pi$

坐标运算：若$\vec{a}=(x_1,y_1)$

=(x1​,y1​)，$\vec{b}=(x_2,y_2)$

=(x2​,y2​)，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2$

⋅b

=x1​x2​+y1​y2​

性质

$\vec{a}\cdot\vec{a}=\vert\vec{a}\vert^2$

⋅a

=∣a

∣2，即$\vert\vec{a}\vert=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}=\sqrt{x_1^{2}+y_1^{2}}$

∣=a

⋅a

​=x12​+y12​

​（已知$\vec{a}=(x_1,y_1)$

=(x1​,y1​)）

$\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

⊥b

⇔a

⋅b

=0，对于坐标形式有$x_1x_2 + y_1y_2 = 0$

$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}$

∣∣b

∣a

⋅b

​，对于坐标形式$\cos\theta=\frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^{2}+y_1^{2}}\cdot\sqrt{x_2^{2}+y_2^{2}}}$

​⋅x22​+y22​

​x1​x2​+y1​y2​​

 

向量共线与垂直的判定

向量共线

若$\vec{a}\neq\vec{0}$

=0

，$\vec{b}$

与$\vec{a}$

共线，则存在唯一实数$\lambda$，使得$\vec{b}=\lambda\vec{a}$

=λa

 

坐标形式：若$\vec{a}=(x_1,y_1)$

=(x1​,y1​)，$\vec{b}=(x_2,y_2)$

=(x2​,y2​)，$\vec{a}$

与$\vec{b}$

共线$\Leftrightarrow x_1y_2 - x_2y_1 = 0$

 

向量垂直

已在数量积性质中提及，$\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

⊥b

⇔a

⋅b

=0（定义）；坐标形式$\vec{a}=(x_1,y_1)$

=(x1​,y1​)，$\vec{b}=(x_2,y_2)$

=(x2​,y2​)时，$\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0$

⊥b

⇔x1​x2​+y1​y2​=0

 

平面向量基本定理

如果$\vec{e_1}$

​，$\vec{e_2}$

​是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量$\vec{a}$

，有且只有一对实数$\lambda_1$，$\lambda_2$，使$\vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}$

=λ1​e1​

​+λ2​e2​

​，其中$\{\vec{e_1},\vec{e_2}\}$

​,e2​

​}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 。