正三棱锥的性质

正三棱锥是底面为正三角形，且顶点在底面的射影是底面正三角形中心的三棱锥，它具有以下性质：

外观与结构性质

底面与侧面特征：底面是正三角形，三个侧面都是全等的等腰三角形。

棱长关系： 侧棱长都相等。若设正三棱锥的侧棱长为$l$，底面正三角形边长为$a$，它们之间并没有固定的等式关系，但在具体题目中可通过其他条件建立联系。

对称性：正三棱锥是轴对称图形，有三条对称轴，分别是顶点与底面正三角形各边中点的连线所在直线。同时它也是中心对称图形，对称中心是顶点在底面的射影，即底面正三角形的中心。

垂直关系性质

顶点射影特性：顶点在底面的射影是底面正三角形的中心，这个中心同时也是底面三角形的重心、垂心、内心和外心（正三角形四心合一）。

线面垂直关系：顶点与底面中心的连线垂直于底面。即若正三棱锥为$P - ABC$，$O$为底面$\triangle ABC$的中心，则$PO\perp$平面$ABC$。由此还能推出一些线线垂直关系，比如$PO\perp AB$，$PO\perp BC$，$PO\perp AC$ 。

角度相关性质

侧面与底面夹角：三个侧面与底面所成的二面角都相等。若记侧面与底面所成二面角为$\theta$，可通过作出二面角的平面角，利用正三棱锥的棱长等条件，结合三角函数知识求出$\theta$的大小。

侧棱与底面夹角： 三条侧棱与底面所成的角都相等。设侧棱$PA$与底面$ABC$所成角为$\alpha$ ，同样可通过构建合适的直角三角形来求解$\alpha$。

面积与体积性质

表面积：$S_{表}=S_{底}+3S_{侧}$，其中$S_{底}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$

​​a2（$a$为底面正三角形边长） ，$S_{侧}$为一个侧面等腰三角形的面积，可根据已知条件（如侧棱长、底面边长等）通过三角形面积公式求出。

体积：$V=\frac{1}{3}S_{底}h$（$h$为正三棱锥的高，即顶点到底面的距离） 。