对数的运算法则

对数运算法则是进行对数运算的依据，以下是一些常见的对数运算法则（设$a＞0$且$a≠1$，$M＞0$，$N＞0$ ）：

对数加法法则：$\log_{a}(M\cdot N)=\log_{a}M + \log_{a}N$

文字表述：两个正数乘积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和。例如$\log_{2}(4\times8)=\log_{2}4+\log_{2}8$，因为$\log_{2}4 = 2$，$\log_{2}8 = 3$，$\log_{2}(4\times8)=\log_{2}32 = 5$，等式成立。

对数减法法则：$\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M - \log_{a}N$

文字表述：两个正数商的对数，等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数。例如$\log_{3}\frac{27}{9}=\log_{3}27 - \log_{3}9$，由于$\log_{3}27 = 3$，$\log_{3}9 = 2$ ，$\log_{3}\frac{27}{9}=1$，等式成立。

对数的幂运算法则：$\log_{a}M^{n}=n\log_{a}M$

文字表述：一个正数的$n$次幂的对数，等于幂指数$n$乘以这个正数的对数 。比如$\log_{5}25^{2}=2\log_{5}25$，因为$\log_{5}25 = 2$，所以$2\log_{5}25 = 4$，而$\log_{5}25^{2}=\log_{5}625 = 4$，等式成立。

换底公式：$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$（$c＞0$且$c≠1$）

文字表述：以$a$为底$b$的对数，等于以$c$为底$b$的对数除以以$c$为底$a$的对数。例如计算$\log_{2}5$的值，利用换底公式换成以$10$为底，即$\log_{2}5 = \frac{\lg5}{\lg2}$ ，通过查常用对数表或计算器可求出具体数值。

特殊对数恒等式：

$a^{\log_{a}N}=N$ ，例如$2^{\log_{2}8}=8$。

$\log_{a}a = 1$ ，例如$\log_{10}10 = 1$。

$\log_{a}1 = 0$ ，例如$\log_{5}1 = 0$。