微积分常用公式有哪些

微积分分为微分学和积分学，以下列举一些常用公式：

微分公式

 

基本函数求导公式

常数函数：$(C)^\prime = 0$ （$C$为常数）

幂函数：$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$

指数函数：$(a^x)^\prime = a^x \ln a$ ；特别地，$(e^x)^\prime = e^x$

对数函数：$(\log_a x)^\prime = \frac{1}{x \ln a}$ ；特别地，$(\ln x)^\prime = \frac{1}{x}$

三角函数

$(\sin x)^\prime = \cos x$

$(\cos x)^\prime = -\sin x$

$(\tan x)^\prime = \sec^2 x$

$(\cot x)^\prime = -\csc^2 x$

$(\sec x)^\prime = \sec x \tan x$

$(\csc x)^\prime = -\csc x \cot x$

 

反三角函数

$(\arcsin x)^\prime = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

​1​

$(\arccos x)^\prime = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

​1​

$(\arctan x)^\prime = \frac{1}{1 + x^2}$

$(\text{arccot }x)^\prime = -\frac{1}{1 + x^2}$

 

 

 

函数的和、差、积、商求导法则

和差法则：$(u \pm v)^\prime = u^\prime \pm v^\prime$

积法则：$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$

商法则：$(\frac{u}{v})^\prime = \frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$ （$v \neq 0$）

 

 

复合函数求导法则（链式法则）
若 $y = f(u)$，$u = g(x)$，则 $y$ 关于 $x$ 的导数为 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ ，即 $y^\prime_x = y^\prime_u \cdot u^\prime_x$

 

积分公式

 

不定积分基本公式

常数函数积分：$\int kdx = kx + C$ （$k$为常数）

幂函数积分：$\int x^n dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ （$n \neq - 1$）

指数函数积分：$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ （$a > 0,a \neq 1$）；$\int e^x dx = e^x + C$

对数函数积分：$\int \frac{1}{x}dx = \ln |x| + C$

三角函数积分

$\int \sin x dx = -\cos x + C$

$\int \cos x dx = \sin x + C$

$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$

$\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$

$\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$

 

反三角函数积分

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx = \arcsin x + C$

​1​dx=arcsinx+C

$\int \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}dx = \arccos x + C$

​−1​dx=arccosx+C

$\int \frac{1}{1 + x^2}dx = \arctan x + C$

$\int \frac{-1}{1 + x^2}dx = \text{arccot }x + C$

 

 

 

定积分公式

牛顿 - 莱布尼茨公式（微积分基本定理）：如果 $F^\prime(x) = f(x)$，且 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积，则 $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$

 

这些公式是微积分学习和应用中的基础内容，在解决函数的变化率、曲线斜率、面积、体积等诸多数学和物理问题中发挥着关键作用。