指数分布期望方差是怎么证明的

指数分布的概率密度函数

指数分布的概率密度函数为 $f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}, & x\geq0 \\ 0, & x\lt0\end{cases}$，其中 $\lambda\gt0$ 是参数。

指数分布期望的证明

期望 $E(X)$ 的定义为 $E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$。

对于指数分布，因为 $f(x)=0$ 当 $x\lt0$，所以 $E(X)=\int_{0}^{\infty}x\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx$。

利用分部积分法，设 $u = x$，$dv=\lambda e^{-\lambda x}dx$。

先求 $v$，对 $dv=\lambda e^{-\lambda x}dx$ 积分可得 $v=-e^{-\lambda x}$。

根据分部积分公式 $\int_{a}^{b}u\ dv=uv|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v\ du$，这里 $du = dx$。

则 $\int_{0}^{\infty}x\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx=\left[-xe^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}e^{-\lambda x}dx$。

对于 $\left[-xe^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty}$，$\lim_{x\rightarrow\infty}-xe^{-\lambda x}=\lim_{x\rightarrow\infty}-\frac{x}{e^{\lambda x}}$，利用洛必达法则，对分子分母分别求导，$\lim_{x\rightarrow\infty}-\frac{x}{e^{\lambda x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}-\frac{1}{\lambda e^{\lambda x}} = 0$，当 $x = 0$ 时，$-xe^{-\lambda x}=0$。

对于 $\int_{0}^{\infty}e^{-\lambda x}dx=\left[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty}=-\frac{1}{\lambda}(0 - 1)=\frac{1}{\lambda}$。

所以 $E(X)=\frac{1}{\lambda}$。

指数分布方差的证明

方差 $D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}$，已经求得 $E(X)=\frac{1}{\lambda}$，现在求 $E(X^{2})$。

$E(X^{2})=\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}f(x)dx=\int_{0}^{\infty}x^{2}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx$。

再次利用分部积分法，设 $u = x^{2}$，$dv=\lambda e^{-\lambda x}dx$，则 $v=-e^{-\lambda x}$，$du = 2xdx$。

$\int_{0}^{\infty}x^{2}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx=\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty}+2\int_{0}^{\infty}x e^{-\lambda x}dx$。

对于 $\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty}$，$\lim_{x\rightarrow\infty}-x^{2}e^{-\lambda x}=\lim_{x\rightarrow\infty}-\frac{x^{2}}{e^{\lambda x}}$，多次使用洛必达法则可得极限为 $0$，当 $x = 0$ 时，$-x^{2}e^{-\lambda x}=0$。

对于2\int_{0}^{\infty}x e^{-\lambda x}dx)，再用一次分部积分法，设 $u = x$，$dv=e^{-\lambda x}dx$，$v = -\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}$，$du = dx$。

则 $2\int_{0}^{\infty}x e^{-\lambda x}dx=2\left(\left[- \frac{x}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{\lambda}\int_{0}^{\infty}e^{-\lambda x}dx\right)$。

同样可求 $\left[- \frac{x}{\lambda}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty}=0$，$\frac{1}{\lambda}\int_{0}^{\infty}e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda^{2}}$，所以 $2\int_{0}^{\infty}x e^{-\lambda x}dx=\frac{2}{\lambda^{2}}$，即 $E(X^{2})=\frac{2}{\lambda^{2}}$。

那么 $D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=\frac{2}{\lambda^{2}}-\left(\frac{1}{\lambda}\right)^{2}=\frac{1}{\lambda^{2}}$。

综上，指数分布的期望为 $E(X)=\frac{1}{\lambda}$，方差为 $D(X)=\frac{1}{\lambda^{2}}$。