转动惯量怎么算

转动惯量的计算方法取决于物体的形状、质量分布以及转轴的位置，以下是一些常见的计算情形：

质点的转动惯量

对于一个质量为 $m$ 的质点，它到转轴的垂直距离为 $r$，其转动惯量 $I$ 的计算公式为：
$I = mr^{2}$

离散质点系的转动惯量

由多个质量分别为 $m_1, m_2, \cdots, m_n$，到转轴垂直距离分别为 $r_1, r_2, \cdots, r_n$ 的质点组成的质点系，其转动惯量为各质点转动惯量之和，即：
$I = \sum_{i = 1}^{n}m_ir_{i}^{2}$

连续刚体的转动惯量

对于质量连续分布的刚体，计算转动惯量需要用到积分。基本步骤是将刚体分割成无数个质量元 $dm$，每个质量元到转轴的垂直距离为 $r$，则整个刚体的转动惯量为：
$I = \int r^{2}dm$

不同形状的刚体在不同转轴下，转动惯量的具体计算有所不同，以下列举几种典型例子：

细棒

当细棒质量为 $m$，长度为 $l$，转轴通过棒的中心且垂直于棒时，转动惯量 $I = \frac{1}{12}ml^{2}$。

当转轴通过棒的一端且垂直于棒时，转动惯量 $I = \frac{1}{3}ml^{2}$。

圆盘

质量为 $m$，半径为 $R$ 的均匀圆盘，绕通过圆心且垂直于盘面的轴转动时，转动惯量 $I = \frac{1}{2}mR^{2}$。

绕直径转动时，转动惯量 $I = \frac{1}{4}mR^{2}$。

球体

质量为 $m$，半径为 $R$ 的均匀球体，绕直径转动时，转动惯量 $I = \frac{2}{5}mR^{2}$。

在实际计算中，如果遇到形状复杂的物体，可以利用平行轴定理和垂直轴定理等辅助计算。

平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量 $I$，等于刚体对通过质心的平行轴的转动惯量 $I_{c}$ 加上刚体质量 $m$ 与两轴垂直距离 $d$ 平方的乘积，即 $I = I_{c} + md^{2}$。

垂直轴定理：对于平面薄板状刚体，设 $x$、$y$ 轴在薄板平面内且相互垂直，$z$ 轴垂直于薄板平面，则有 $I_{z} = I_{x} + I_{y}$，其中 $I_{x}$、$I_{y}$、$I_{z}$ 分别是刚体对 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的转动惯量。