四边形面积公式

不同类型的四边形面积公式各不相同，以下是一些常见四边形及其面积公式：

平行四边形

已知底和高：面积公式为$S = a\times h$，其中$S$表示平行四边形的面积，$a$表示平行四边形的底边长，$h$表示这条底边对应的高。

已知相邻两边及夹角：若已知平行四边形相邻两边的长度分别为$a$、$b$，它们的夹角为$\theta$，则面积公式为$S = a\times b\times \sin\theta$ 。

矩形

矩形是特殊的平行四边形，由于四个角都是直角（$\sin90^{\circ}=1$ ），面积公式为$S = l\times w$，其中$S$是矩形面积，$l$表示矩形的长，$w$表示矩形的宽。

正方形

正方形是特殊的矩形，四条边都相等。设边长为$a$，其面积公式为$S = a^{2}$。

菱形

已知对角线：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即$S=\frac{1}{2}d_1\times d_2$，其中$S$为菱形面积，$d_1$、$d_2$分别是菱形的两条对角线长度。

已知底和高：也可以按照平行四边形面积公式计算，即$S = a\times h$，$a$为菱形的边长（任意一边），$h$为这条边上的高。

已知边长和夹角：若边长为$a$，某一内角为$\theta$ ，面积公式为$S = a^{2}\times \sin\theta$。

梯形

面积公式为$S=\frac{(a + b)h}{2}$，其中$S$表示梯形面积，$a$和$b$分别是梯形的上底和下底长度，$h$是梯形的高。

一般四边形

对于一般的不规则四边形，如果知道四条边$a$、$b$、$c$、$d$以及一组对角之和$\theta$，可以用布雷特施奈德公式计算面积：
$S = \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)-a b c d \cos^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)}$

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其中$s=\frac{a + b + c + d}{2}$，为半周长。如果四边形是圆内接四边形（四个顶点都在同一个圆上），由于圆内接四边形对角互补，$\theta = 180^{\circ}$ ，$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)=0$，此时面积公式简化为$S=\sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}$

​，这个公式叫婆罗摩笈多公式。