四次方和公式

四次方和公式是用于计算前 $n$ 个自然数的四次方的和，公式如下：

$1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)(3n^2 + 3n - 1)}{30}$

下面简单介绍推导过程（利用数学归纳法）：

基础步骤

当 $n = 1$ 时，左边 $= 1^4 = 1$，右边 $=\frac{1\times(1 + 1)\times(2\times1 + 1)\times(3\times1^2 + 3\times1 - 1)}{30}=\frac{1\times2\times3\times5}{30}=1$。

左边等于右边，所以当 $n = 1$ 时，公式成立。

归纳假设

假设当 $n = k$（$k$ 为正整数）时，公式成立，即 $1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + k^4 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)(3k^2 + 3k - 1)}{30}$。

归纳证明

当 $n = k + 1$ 时，$1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + k^4+(k + 1)^4$

将归纳假设代入上式得：$\frac{k(k + 1)(2k + 1)(3k^2 + 3k - 1)}{30}+(k + 1)^4$

通过一系列的化简（展开式子、通分、合并同类项等代数运算），最终可以得到$\frac{(k + 1)[(k + 1)+1][2(k + 1)+1][3(k + 1)^2 + 3(k + 1)-1]}{30}$。

这表明当 $n = k + 1$ 时公式也成立。

综上，由数学归纳法可知，对于任意正整数 $n$，上述四次方和公式均成立。