数列收敛是什么意思

在数学中，数列收敛是指：对于一个数列$\{ a_{n}\}$，如果存在一个确定的常数$A$ ，当项数$n$无限增大时，数列的项$a_{n}$无限趋近于这个常数$A$ ，就称数列$\{ a_{n}\}$收敛于$A$ ，记作$\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = A$ 。

用更严谨的$\varepsilon - N$语言描述为：对于任意给定的正数$\varepsilon$（无论它多么小），总存在正整数$N$ ，使得当$n > N$ 时，不等式$\vert a_{n} - A \vert < \varepsilon$恒成立，则称数列$\{ a_{n}\}$收敛于$A$。

例如数列$\{ \frac{1}{n} \}$ ，即$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\cdots,\frac{1}{n},\cdots$ ，当$n$无限增大时，$\frac{1}{n}$无限趋近于$0$ 。对于任意给定的正数$\varepsilon$ ，比如$\varepsilon = 0.01$ ，要使$\vert \frac{1}{n} - 0 \vert=\frac{1}{n}< 0.01$ ，只要$n > 100$ 即可。也就是存在$N = 100$ ，当$n > 100$ 时，$\vert \frac{1}{n} - 0 \vert < 0.01$ 成立。所以数列$\{ \frac{1}{n} \}$收敛于$0$ 。

与之相对的概念是数列发散，如果一个数列不收敛，就称它是发散的。例如数列$\{ (-1)^{n} \}$ ，即$-1,1,-1,1,\cdots,(-1)^{n},\cdots$ ，当$n$趋于无穷大时，数列的项在$-1$和$1$之间跳动，不会趋近于一个确定的常数，所以该数列是发散的。