3的X次方怎么求导

根据求导公式$(a^x)^\prime = a^x\ln a$（$a\gt0$且$a\neq1$），对于函数$y = 3^x$，它的导数为：

令$a = 3$，则$y^\prime=(3^x)^\prime = 3^x\ln 3$。

推导过程（利用导数定义和指数运算法则）：

设$f(x)=3^x$，根据导数定义$f^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$。

$$\begin{align*} f^\prime(x)&=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{3^{x + \Delta x} - 3^x}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{3^x\cdot 3^{\Delta x} - 3^x}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{3^x(3^{\Delta x} - 1)}{\Delta x}\\ \end{align*}$$

令$t = 3^{\Delta x} - 1$，则$3^{\Delta x}=t + 1$，$\Delta x=\log_3 (t + 1)$。

当$\Delta x \to 0$时，$t \to 0$。

$$\begin{align*} &\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{3^x(3^{\Delta x} - 1)}{\Delta x}\\ =&\lim\limits_{t \to 0} \frac{3^x\cdot t}{\log_3 (t + 1)}\\ =&3^x\lim\limits_{t \to 0} \frac{t}{\log_3 (t + 1)}\\ =&3^x\lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{\frac{1}{t}\log_3 (t + 1)}\\ =&3^x\lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{\log_3 (t + 1)^{\frac{1}{t}}}\\ \end{align*}$$

根据重要极限$\lim\limits_{t \to 0}(1 + t)^{\frac{1}{t}} = e$，可得$\lim\limits_{t \to 0} (t + 1)^{\frac{1}{t}} = e$。

$$\begin{align*} &3^x\lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{\log_3 (t + 1)^{\frac{1}{t}}}\\ =&3^x\frac{1}{\log_3 e}\\ =&3^x\ln 3 \end{align*}$$

所以$y = 3^x$的导数是$y^\prime = 3^x\ln 3$ 。