指数函数的求导怎样求

基本指数函数$y = a^{x}$（$a > 0$且$a\neq1$）的求导公式推导：

根据导数的定义，函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$。

对于$y = a^{x}$，则$y^\prime=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{a^{x + \Delta x}-a^{x}}{\Delta x}$。

对$\frac{a^{x + \Delta x}-a^{x}}{\Delta x}$进行变形，$a^{x + \Delta x}=a^{x}\cdot a^{\Delta x}$，那么$\frac{a^{x + \Delta x}-a^{x}}{\Delta x}=\frac{a^{x}\cdot a^{\Delta x}-a^{x}}{\Delta x}=a^{x}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}$。

令$t = a^{\Delta x}-1$，则$a^{\Delta x}=t + 1$，$\Delta x=\log_{a}(t + 1)$。

当$\Delta x \to 0$时，$t \to 0$。此时$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=\lim\limits_{t \to 0}\frac{t}{\log_{a}(t + 1)}$。

根据对数运算法则$\frac{t}{\log_{a}(t + 1)}=\frac{1}{\frac{1}{t}\log_{a}(t + 1)}=\frac{1}{\log_{a}(t + 1)^{\frac{1}{t}}}$。

由重要极限$\lim\limits_{t \to 0}(1 + t)^{\frac{1}{t}} = e$，可得$\lim\limits_{t \to 0}\log_{a}(t + 1)^{\frac{1}{t}}=\log_{a}e$。

所以$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=\frac{1}{\log_{a}e}=\ln a$。

那么$(a^{x})^\prime=a^{x}\ln a$ 。

特殊情况，当$a = e$时：

因为$\ln e = 1$，对于指数函数$y = e^{x}$，其导数$(e^{x})^\prime = e^{x}\ln e = e^{x}$。也就是说，以$e$为底的指数函数的导数就是它本身，这是指数函数求导的一个重要特性。

复合指数函数求导（形如$y = a^{u(x)}$，$a > 0$且$a\neq1$）：

令$u = u(x)$，根据复合函数求导法则$y^\prime_y = y^\prime_u\cdot u^\prime_x$。

先对$y = a^{u}$关于$u$求导，由前面结论可知$(a^{u})^\prime = a^{u}\ln a$；再对$u = u(x)$关于$x$求导得$u^\prime(x)$。

所以$(a^{u(x)})^\prime = a^{u(x)}\ln a\cdot u^\prime(x)$。例如，对于函数$y = 2^{3x^2}$，令$u = 3x^{2}$，则$y = 2^{u}$。

先求$y^\prime_u=(2^{u})^\prime = 2^{u}\ln 2$，再求$u^\prime_x=(3x^{2})^\prime = 6x$。

那么$y^\prime = 2^{3x^2}\ln 2\cdot 6x = 6x\ln 2\cdot 2^{3x^2}$ 。

综上，基本指数函数$y = a^{x}$（$a > 0$且$a\neq1$）的导数为$y^\prime = a^{x}\ln a$；$y = e^{x}$的导数为$y^\prime = e^{x}$；复合指数函数$y = a^{u(x)}$（$a > 0$且$a\neq1$）的导数为$y^\prime = a^{u(x)}\ln a\cdot u^\prime(x)$ 。